Aksjomat ekstensjonalności
Z Wikipedii
Aksjomat ekstensjonalności - jeden z aksjomatów Zermelo-Fraenkela w aksjomatycznej teorii mnogości, sformułowany przez Ernsta Zermelo w 1908[1][2]. Aksjomat ten postuluje, że dwa zbiory złożone z tych samych elementów są identyczne.
Formalnie, aksjomat ten to następujące zdanie języka pierwszego rzędu 
(gdzie 
jest binarnym symbolem relacyjnym):
.
[edytuj] Interpretacja
Aksjomat ekstensjonalności postuluje, że jeśli dwa zbiory mają te same elementy, to są równe. Ponieważ dwa równe zbiory mają te same elementy, to możemy sformułować ten aksjomat tak:
- dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.
Zatem każdy zbiór jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje elementy. W szczególności jeśli 
jest formułą języka teorii mnogości i wiemy, że istnieje zbiór złożony ze wszystkich obiektów a, dla których jest spełnione 
, to zbiór ten jest wyznaczony jednoznacznie. Pisząc "
" na oznaczenie tego zbioru, odwołujemy się także do aksjomatu ekstensjonalności.
Czasami aksjomat ekstensjonalności podaje się jako stwierdzenie, że relacja należenia jest ekstensjonalna. Przypomnijmy, że relacja dwuczłonowa R na zbiorze X jest ekstensjonalna, gdy następujący warunek jest spełniony:
- dla wszystkich
, jeśli 
to x = y.
(Warto wspomnieć, że twierdzenie Mostowskiego o kolapsie stwierdza, że każda relacja dobrze ufundowana i ekstensjonalna jest izomorficzna z relacją należenia ograniczoną do pewnego zbioru przechodniego.)
[edytuj] Inne sformułowania aksjomatu
- Logikę pierwszego rzędu można rozwijać bez użycia symbolu równości jako jednego z symboli logicznych. Przy tym podejściu nie możemy w sformułowaniu aksjomatu napisać x = y i wtedy aksjomat extensjonalności formułuje się w następujący, bardziej skomplikowany sposób:
.
- W teorii mnogości z urelementami aksjomat ekstensjonalności formułuje się tylko w odniesieniu do zbiorów.
- W teorii klas (zarówno Kelley'a-Morse'a jak i NBG) również formułuje się odpowiedni askjomat extensjonalności. John L. Kelley[3] podaje ten aksjomat jako pierwszy na jego liście. Postulat ten może być wyrażony za pomocą tej samej fomuły co podana przez nas wcześniej, ale znaczenie teraz jest, że klasy o tych samych elementach są równe. W systemie von Neumanna-Bernaysa-Gödla formułuje się dwa postulaty: ekstensjonalność dla klas i ekstensjonalność dla zbiorów.
Przypisy
- ↑ Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. "Math. Ann." 65 (1908), strony 261-281.
- ↑ Jech, Thomas: Set theory. Wydanie drugie. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1997. ISBN 3-540-63048-1. Strony 1 oraz 579.
- ↑ Kelley, John: General topology. 1976 (1955). ISBN 0-387-90125-6
| Władze Katowic nie chcą u siebie Czeczenów |
300 Czeczenów zostanie rozwiezionych po Polsce, w tym 50 ciężarnych kobiet i 125 dzieci. Władze Katowic chcą zlikwidować ośrodek dla cudzoziemców |
| Bibliotekarze: załóżcie nam internet! |
2,5 tys. wiejskich bibliotek nie ma dostępu do internetu. Bez tego nie da się zmodernizować placówek - apelują do rządu bibliotekarze. |
| Ekspres Solidarności, odjazd! |
Specjalnym pociągiem z Krakowa do Gdańska pojedzie jutro 200 osób z 44 krajów. Po drodze spotkają m.in. Władysława Bartoszewskiego i zwiedzą Muzeum Powstania Warszawskiego. |
| Mrówki zablokowały granicę Polski z Ukrainą |
Gwałtowne protesty tzw. mrówek na przejściu granicznym w Medyce to reakcja na zmiany przepisów celnych |
| Wojna PiS i przystawek o media publiczne |
Krzysztof Czabański za Andrzeja Urbańskiego? O takim wariancie huczy w telewizji. |
| „Testament życia” to nie eutanazja |
Z etycznego punktu widzenia nie ma różnicy pomiędzy niepodłączeniem do aparatury, jeśli pacjent się temu sprzeciwia, a odłączeniem aparatury na jego życzenie - mówi prof. Krzysztof Marczewski. |
| Platforma wychodzi do ludzi bronić rządu |
Partia zobowiązała działaczy do organizacji spotkań z mieszkańcami w każdym z 379 powiatów w Polsce. Mają przekonywać, że reformy blokuje prezydent i PiS |
| Cała polska buduje schetynówki |
2 mld 220 mln zł - tyle chcą gminy i powiaty w przyszłym roku na tzw. schetynówki, czyli drogi lokalne. |
| Obama jak Wojtyła |
- Recepcja nauczania Jana Pawła II jest tęczowa, od proletariackiej czerwieni do biskupich fioletów. Jego nauki podobały się różnym grupom często ze sobą skłóconym - powiedział wczoraj Adam Michnik podczas XV Debaty Tischnerowskiej zorganizowanej przez Uniwersytet Warszawski i wiedeński Instytut Nauk o Człowieku. |
| Tusk: Awantura o samolot i "Słońce Peru" to porażki roku |
Awantura o rządowy samolot dla prezydenta Lecha Kaczyńskiego przed październikowym szczytem UE w Brukseli - to zdaniem premiera Donalda Tuska największy błąd, jaki popełnił w ostatnim roku. |
