Aksjomat indukcji
Z Wikipedii
Aksjomat indukcji to aksjomat, a właściwie nieskończony przeliczalny zbiór aksjomatów pierwszego rzędu, pozalogicznych rozważany zwłaszcza w teorii arytmetyki liczb naturalnych. Jest on formalizacją zasady indukcji matematycznej.
Jego treść przedstawia się następująco:
,
gdzie 
oznacza: "dla każdego n" =>, to wynikanie (implikacja) ^ oznacza "i". Tak wyrażony aksjomat indukcji nie spełnia jednak założeń rozlicznych podejść, a w tym np. analizy Goedla niesprzeczności teorii matematycznych w szczególności arytmetyki. Problemem jest zupełna nieobliczalność relacji użytych do konstrukcji powyższego zdania: kwantyfikator ogólny "dla każdego n" nie da się bowiem zapisać jako funkcja obliczalna. Ponadto zdanie powyższe jest zdaniem drugiego rzędu z uwagi na użycie kwantyfikatora, co sprawia, że operuje ono obiektami niezdefiniowanymi w teorii (zbiorem liczb naturalnych n, z którego mamy wybierać wartości: nie można go skonstruować, zanim nie ustalimy listy aksjomatów i nie udowodnimy ich niesprzeczności).
Równoważnie aksjomat indukcji można zapisać jako koniunkcję zbioru aksjomatów w następującej postaci:
,
w której to notacji nie został użyty nieograniczony, a więc nieobliczalny (nierekurencyjny) kwantyfikator ogólny, wszystkie zdania są zaś pierwszego rzędu (wyrażają prawdy o zdefiniowanych wcześniej pojęciach pierwotnych arytmetyki, nie używając kwantyfikatora ogólnego). Uzyskujemy w ten sposób formalną poprawność sformułowania aksjomatu.
Aksjomaty indukcji są ważnym elementem teorii arytmetyki.
Jako ciekawostkę można nadmienić, że znane są przykłady twierdzeń, w których chociaż znamy dowody twierdzenia 'T(n)' dla każdego 'n', to twierdzenie T(n) nie może być dowiedzione w ramach arytmetyki liczb naturalnych (jest niedowiedlne), gdyż każdy z tych dowodów jest prowadzony za pomocą innych narzędzi i nie da się ich sprowadzić do kroku indukcyjnego (a więc rozumowania wykazującego T(n)=>T(n+1)), zapisanego za pomocą języka arytmetyki i obejmującego wszystkie możliwe wartości n (dla każdego n pojawia się pewien nowy element niewystępujący dla innych n).
[edytuj] Literatura
- Roman Murawski, Funkcje rekurencyjne i elementy metamatematyki. Problemy zupełności, rozstrzygalności, twierdzenia Gödla, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 1990.
[edytuj] Zobacz też
| 28 osób oskarżonych o fałszowanie list poparcia przed wyborami |
28 osób z Rybnika i okolic zostało oskarżonych o złamanie prawa przy zbieraniu i sporządzaniu list poparcia dla kandydatów na posłów w wyborach do Sejmu w 2005 roku. |
| Złożono kwiaty pod tablicą górników poległych w "Halembie" |
Modlitwą i złożeniem kwiatów przed tablicą z nazwiskami poległych w kopalni "Halemba" w Rudzie Śląskiej górników zakończyły się obchody rocznicy katastrofy w tej kopalni sprzed dwóch lat. |
| Wadowice: Uciekł więzień, policja apeluje o pomoc |
25-letni więzień Zakładu Karnego w Wadowicach uciekł podczas wykonywania pracy poza murami wiezienia. Policja prosi osoby, które widziały uciekiniera, o kontakt pod numerem (0-33) 8729200. |
| Szkło w corhydronie: Producent leku niewinny? |
Producent opakowania, a nie leku ponosi prawdopodobnie winę za to, że w fiolce z corhydronem znalazł się kawałek szkła - wynika wstępnie z kontroli przeprowadzonej przez nadzór farmaceutyczny - poinformowała główny inspektor farmaceutyczny Zofia Ulz. |
| Lubuskie: Ktoś rozpylił gaz w szkole, ewakuowano ok. 500 uczniów |
Około 500 uczniów ewakuowano z jednej ze szkół średnich w Żaganiu (Lubuskie). Prawdopodobnie w budynku ktoś rozpylił gryzący gaz. Dwie dziewczyny, które zaczęły mdleć, przewieziono na obserwację do szpitala - poinformował rzecznik lubuskiej straży pożarnej. |
| Małkowski: prawda jest moją tarczą |
Czesław Jerzy Małkowski, który stracił stanowisko prezydenta Olsztyna w niedzielnym referendum, podziękował mieszkańcom za udzielone mu wsparcie i po raz kolejny zapewnił, że udowodni swą niewinność przed niezawisłym sądem. |
| Ruszył proces: Szef NBP domaga się przeprosin od prezydent Warszawy |
Przed stołecznym sądem ruszył proces, który prezes NBP Sławomir Skrzypek wytoczył prezydent Warszawy Hannie Gornkiewicz-Waltz. Skrzypek żąda przeprosin za podanie informacji, że w 2003 r. spóźnił się z złożeniem oświadczenia majątkowego. |
| Zatrzymano nastolatków, którzy bestialsko pobili bezdomnego |
Zatrzymano czterech nastolatków, którzy bestialsko pobili bezdomnego mężczyznę w Tczewie . 60-latek znajduje się na OIOM-ie gdańskiego szpitala. Od 10 dni jest nieprzytomny, w ciężkim stanie. |
| Kim jest Elżbieta Kruk? |
Zasłynęła przede wszystkim jako budząca kontrowersje szefowa Krajowej Rady Radiofonii i Telewizji. Elżbieta Kruk jest jedną z najbliższych współpracownic Lecha Kaczyńskiego. To także jedna z czołowych działaczek PiS i współzałożycielka tej partii. Zawsze lojalna wobec prezydenta jest jedną z nielicznych osób, którym Lech Kaczyński faktycznie ufa. |
| Elżbieta Kruk wyprowadzona z Sejmu: Czuję się świetnie! |
- To proszę zbadać mnie alkomatem i wtedy będzie pani miała odpowiedź. A jak nie to spotkamy się w sądzie - tak posłanka PiS Elżebieta Kruk odpowiedziała dziennikarzom na sugestie jakoby przyszła do Sejmu pod wpływem alkoholu. Po krótkim, choć głośnym już wywiadzie dla sejmowych dziennikarzy posłanka zniknęła na prawie trzy godziny w sejmowej restauracji. Opuściła ją przed 14.00. - Czuję się świetnie - zapewniała. |
