Pozytywne informacje z Polski i ze Świata.

Tutaj znajdziesz je wszystkie!

Aksjomaty Zermelo-Fraenkela

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Aksjomatyka Zermelo-Fraenkla (w skrócie ZF) - powszechnie przyjmowany system aksjomatów zaproponowany przez Ernsta Zermelo w 1904 r., a uzupełniony i zmodyfikowany przez Adolfa A. Fraenkela. System ten i opartą na nim teorię zbiorów nazywa się teorią mnogości ZF. Aksjomatyka ZF uzupełniona o pewnik wyboru nazywana jest teorią mnogości ZFC.

[edytuj] Spis aksjomatów

Dla uproszczenia zapisu używany będzie skrót \exist ! yW(y) na oznaczenie formuły wyrażającej własność "istnieje dokładnie jeden taki y, że zachodzi W(y)". Jedna z równoważnych (w sensie rachunku predykatów) definicji tego skrótu to:

(\exist y)(\forall x)(W(x)\Leftrightarrow x=y).
Jeżeli zbiory A i B mają te same elementy, to są identyczne.
\forall A \forall B (\forall x (x\in A\iff x\in B)\Rightarrow A=B)
  • Aksjomat zbioru pustego
Istnieje zbiór, który nie ma żadnego elementu.
\exist X\forall y \neg(y\in X)
Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór o tej własności. Zbiór ten nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy przez \emptyset.
Dla każdego zbioru B istnieje zbiór A, złożony z tych i tylko tych elementów x zbioru B, które mają własność \varphi.
\forall p_1 ... \forall p_n \forall B \exist A \forall x (x\in A \iff (x\in B \wedge \varphi(x, B, p_1, ... , p_n)))
  • Aksjomat pary
Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór C, którego elementami są dokładnie zbiory A oraz B.
\forall A\forall B\exist C\forall x(x\in C \iff (x=A \vee x=B))
Dla dowolnej rodziny zbiorów R istnieje zbiór U, do którego należą dokładnie te zbiory x, które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny R.
\forall R\exist U \forall x(x\in U\iff \exist A (x\in A\wedge A\in R))


  • Aksjomat zbioru potęgowego
Dla każdego zbioru X istnieje zbiór P, którego elementami są dokładnie podzbiory zbioru X.
\forall X \exist P \forall Z (Z\in P \iff \forall x (x\in Z \Rightarrow x\in X))
Istnieje zbiór induktywny.
\exist X (\exist Y(Y\in X \wedge \forall y \neg(y\in Y))
\wedge \forall y (y\in X\Rightarrow \exist z (z\in X \wedge \forall x (x\in z\iff (x\in y \vee x=y)))))
Istnieje wiele takich zbiorów. Iloczyn wszystkich takich zbiorów jest najmniejszym zbiorem o tych właściwościach i określa zbiór liczb naturalnych.
Dla dowolnej indeksowanej rodziny niepustych zbiorów \langle A_i: i\in I\rangle istnieje funkcja wyboru, to znaczy funkcja f: I\rightarrow \bigcup_{i\in I} A_i taka, że f(i)\in A_i dla wszystkich i\in I.
\forall R((\forall A(A\in R \Rightarrow A\neq \emptyset)
\wedge \forall A \forall B ((A\in R \wedge B\in R \wedge A\neq B) \Rightarrow \neg(\exist x (x\in A\wedge x\in B)))
\Rightarrow \exist S \forall A (A\in R \Rightarrow \exist ! y (y\in S\wedge e\in A)))
Za pomocą pozostałych aksjomatów można udowodnić równoważność tego aksjomatu z lematem Kuratowskiego-Zorna oraz twierdzeniem, że w każdym zbiorze istnieje relacja dobrego porządku.
Jeżeli dla każdego x istnieje dokładnie jeden y, dla którego zachodzi Θ(x,y), to dla dowolnego zbioru X istnieje taki zbiór Y, że \forall y (y\in Y \iff \exist x\in X (\Theta (x,y))).
\forall p_1 \forall p_n \forall X (\forall x \exist ! y \Theta(x, y, X, p_1, ... , p_n)
\Rightarrow \exist Y \forall y (y\in Y \iff \exist x (x\in X \wedge \Theta (x, y, X, p_1, ... , p_n))))
  • Aksjomat regularności (ufundowania)
Każdy niepusty zbiór X ma element rozłączny z X.
\forall X(X\neq \emptyset \Rightarrow \exist y (y\in X \wedge \neg(\exist z(z\in X \wedge z\in y))))
Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów, czasem rozważane są teorie, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory noszą nazwę hiperzbiorów.

[edytuj] Bibliografia

  • Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości, Warszawa 2005, Wydawnictwo Naukowe PWN, ISBN 83-01-14415-7.
  • Agnieszka Wojciechowska, Elementy logiki i teorii mnogości, Warszawa 1979, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, ISBN 83-01-00756-7.
Debata o kryzysie gazowym: "Praw fizyki pan nie zmieni. Gaz płynie"

Nie wiadomo, kto odpowiada za energetykę - stwierdził w Sejmie poseł PiS Paweł Kowal. Kowalowi odpowiedział minister gospodarki Waldemar Pawlak. Zapewnił, że bieżącą polityką energetyczną kieruje jego resort. - Praw fizyki pan nie zmieni. Gaz płynie - zwrócił się do Kowala, który uzasadniając debatę mówił, że gazu nie ma.

Polska rodzina wróciła z Gazy

Pierwsza z polskich rodzin ze Strefy Gazy wróciła do kraju. Pani Bożena, jej palestyński mąż oraz trójka dzieci tuż po 12.00 wylądowali na lotnisku Okęcie. Z Gazy rodzina została ewakuowana przez przejście z Izraelem w miejscowości Erez.

Chlebowski: Plan antykryzysowy PiS jest nie do zaakceptowania

Pakiet działań antykryzysowych, zaprezentowany przez PiS, jest dla Platformy nie do zaakceptowania - oświadczył szef klubu PO Zbigniew Chlebowski. - Dla takich propozycji nie ma i nie będzie nigdy zgody. To propozycje, które rujnują finanse publiczne - powiedział.

PiS ws. kryzysu: Rząd się nie wywiązuje, my mamy plan

Przewodniczący Komisji Europejskiej Jose Barroso powiedział, że państwa europejskie nie mogą być obojętne wobec kryzysu - przypomniał na konferencji prasowej Jarosław Kaczyński. - Do Warszawy ten apel nie dotarł - powiedział prezes PiS. Jak stwierdził, skoro rząd nie jest w stanie wykonywać swoich obowiązków, musi to zrobić opozycja. Na konferencji przedstawiono plan PiS wobec kryzysu.

Dożywocie za zabójstwo 12-letniej dziewczynki?

Dożywotnie więzienie grozi mieszkańcowi Szczecina Mariuszowi S., którego prokuratura oskarżyła o zabójstwo 12-letniej dziewczynki

Prezydium Episkopatu w obronie abp. Kowalczyka

Polski Episkopat broni nuncjusza papieskiego, któremu niektóre media i ksiądz Isakowicz Zaleski zarzucają świadome kontakty z komunistyczną Służbą Bezpieczeństwa. Kościelna komisja historyczna ustaliła niedawno, że abp Kowalczyk był zarejestrowany bez swojej wiedzy jako kontakt informacyjny.

Bombowy proces Dody

- To nie jest cyrk, to nie są jaja - powiedziała Dorota "Doda" Rabczewska po tym jak pojawiła się w warszawskim sądzie na rozprawie o naruszenie czci. Po czym ostentacyjnie zaczęła jeść żelki i częstować nimi swojego adwokata.

72-latek zasłabł za kierownicą. Dziewięciu rannych

72-letni kierowca fiata punto wjechał w przystanek autobusowy w Ostrowie Wielkopolskim. 9 osób zostało rannych. Dwie są w stanie ciężkim

SLD chce "białej księgi" w sprawie polityki gazowej Polski

SLD chce, by powstała tzw. biała księga w sprawie polityki gazowej Polski.

Sejm: PO i PiS przeciw nowelizacji ustawy o CBA

Sejm odrzucił w pierwszym czytaniu projekt nowelizacji ustawy o Centralnym Biurze Antykorupcyjnym. Według projektu nadzór nad Biurem miałby objąć minister odpowiedzialny za sprawy wewnętrzne, a nie - jak dotychczas - premier.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.
Debata o kryzysie gazowym: "Praw fizyki pan nie zmieni. Gaz płynie"

Nie wiadomo, kto odpowiada za energetykę - stwierdził w Sejmie poseł PiS Paweł Kowal. Kowalowi odpowiedział minister gospodarki Waldemar Pawlak. Zapewnił, że bieżącą polityką energetyczną kieruje jego resort. - Praw fizyki pan nie zmieni. Gaz płynie - zwrócił się do Kowala, który uzasadniając debatę mówił, że gazu nie ma.

Polska rodzina wróciła z Gazy

Pierwsza z polskich rodzin ze Strefy Gazy wróciła do kraju. Pani Bożena, jej palestyński mąż oraz trójka dzieci tuż po 12.00 wylądowali na lotnisku Okęcie. Z Gazy rodzina została ewakuowana przez przejście z Izraelem w miejscowości Erez.

Chlebowski: Plan antykryzysowy PiS jest nie do zaakceptowania

Pakiet działań antykryzysowych, zaprezentowany przez PiS, jest dla Platformy nie do zaakceptowania - oświadczył szef klubu PO Zbigniew Chlebowski. - Dla takich propozycji nie ma i nie będzie nigdy zgody. To propozycje, które rujnują finanse publiczne - powiedział.

PiS ws. kryzysu: Rząd się nie wywiązuje, my mamy plan

Przewodniczący Komisji Europejskiej Jose Barroso powiedział, że państwa europejskie nie mogą być obojętne wobec kryzysu - przypomniał na konferencji prasowej Jarosław Kaczyński. - Do Warszawy ten apel nie dotarł - powiedział prezes PiS. Jak stwierdził, skoro rząd nie jest w stanie wykonywać swoich obowiązków, musi to zrobić opozycja. Na konferencji przedstawiono plan PiS wobec kryzysu.

Dożywocie za zabójstwo 12-letniej dziewczynki?

Dożywotnie więzienie grozi mieszkańcowi Szczecina Mariuszowi S., którego prokuratura oskarżyła o zabójstwo 12-letniej dziewczynki

Prezydium Episkopatu w obronie abp. Kowalczyka

Polski Episkopat broni nuncjusza papieskiego, któremu niektóre media i ksiądz Isakowicz Zaleski zarzucają świadome kontakty z komunistyczną Służbą Bezpieczeństwa. Kościelna komisja historyczna ustaliła niedawno, że abp Kowalczyk był zarejestrowany bez swojej wiedzy jako kontakt informacyjny.

Bombowy proces Dody

- To nie jest cyrk, to nie są jaja - powiedziała Dorota "Doda" Rabczewska po tym jak pojawiła się w warszawskim sądzie na rozprawie o naruszenie czci. Po czym ostentacyjnie zaczęła jeść żelki i częstować nimi swojego adwokata.

72-latek zasłabł za kierownicą. Dziewięciu rannych

72-letni kierowca fiata punto wjechał w przystanek autobusowy w Ostrowie Wielkopolskim. 9 osób zostało rannych. Dwie są w stanie ciężkim

SLD chce "białej księgi" w sprawie polityki gazowej Polski

SLD chce, by powstała tzw. biała księga w sprawie polityki gazowej Polski.

Sejm: PO i PiS przeciw nowelizacji ustawy o CBA

Sejm odrzucił w pierwszym czytaniu projekt nowelizacji ustawy o Centralnym Biurze Antykorupcyjnym. Według projektu nadzór nad Biurem miałby objąć minister odpowiedzialny za sprawy wewnętrzne, a nie - jak dotychczas - premier.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Jeśli skorzystałeś z informacji przedstawionych tutaj?

Nie bądź samolubem. Daj link do serwisu http://www.theplaceofhousesinc.com wszystkim z Twojego GG.