Całkowanie numeryczne

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Całkowanie numeryczne – metoda numeryczna polegająca na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych. Termin kwadratura numeryczna, często po prostu kwadratura, jest mniej lub bardziej synonimem całkowania numerycznego, w szczególności w odniesieniu do całek jednowymiarowych. Dwu- i wyżejwymiarowe całkowania nazywane są czasami kubaturami, choć wyraz kwadratura również niesie to znaczenie dla całkowania w wyższych wymiarach.

Proste metody całkowania numerycznego polegają na przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały, ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać krok do szybkości zmienności funkcji.

[edytuj] Metoda prostokątów

Prawdopodobnie najprostszym wzorem jest metoda punktu środkowego (midpoint rule):

$\int\limits_{x_*}^{x_*+h} f(x) dx \approx h f\left( x_* + \frac h 2 \right)$

Jeśli funkcja $f (x)$ zmienia się w niewielkim stopniu na przedziale $(x *, x * + h)$ , reguła taka da dobre przybliżenie całki.

[edytuj] Metoda trapezów

$\int\limits_{x_*}^{x_*+h} f(x) dx \approx \frac h 2\left[ f(x_*) + f(x_*+h) \right]$

Metoda daje zazwyczaj lepsze przybliżenie niż metoda prostokątów, ale wymaga obliczenia wartości funkcji w 2 punktach.

[edytuj] Metoda parabol (Simpsona)

Wymaga podzielenia przedziału całkowania na parzystą liczbę podprzedziałów, tzn

$h = \frac {b-a} {2n}$

dla uproszczenia oznaczamy:

x i = a + i h

oraz

f i = f (x i)

wykonując całkowanie wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a z 3 kolejnych punktów otrzymujemy wzór Simpsona:

$\int\limits_{x_i}^{x_{i+2}} f(x) dx \approx \frac h 3 [f_i+4f_{i+1}+f_{i+2}]$

dla całego przedziału (a,b) otrzymujemy:

$\int\limits_a^b f(x) dx \approx \frac h 3 [f_0 + 4(f_1+f_3+...+f_{2n-1}) + 2(f_2+f_4+...+f_{2n-2}) + f_{2n}]$

[edytuj] Metody losowe

Do przybliżonego obliczania całki oznaczonej można również wykorzystać metody probabilistyczne. Należy pamiętać jednak, że wynik takiego całkowania jest też zmienną losową.

Monte Carlo

Idea opiera się na policzeniu pola pod wykresem funkcji dla $f (x) > 0$ i odjęciu pola nad wykresem dla $f (x) < 0$

probabilistyczna

$\int\limits_a^b f(x) dx \approx \frac {b-a} n \sum_{i=1}^n f(x_i)$

$x i$ jest losowo wybierane z przedziału $< a, b >$
$n$ określa liczność próbki.

[edytuj] Przykład - metoda prostokątów

Spróbujmy scałkować funkcję $cos(x)$ na przedziale od 0 do 1. Ponieważ da się ją scałkować analitycznie, znamy dokładny wynik i możemy łatwo obliczać błąd przybliżenia różnych metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych prawidłowy wynik wynosi:

$\int\limits_0^1 \cos(x) dx = \sin(1) - \sin(0) = 0.8414709848$

Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu środkowego da nam wynik:

$\int\limits_0^1 \cos(x) dx \approx (1-0) \cos\left(\frac 1 2\right) = 0.8775825619$

co daje błąd 0.0361115771 (błąd względny 4.3%) – niewielki jak na tak prostą metodę, jednak oczywiście niezadowalający do wielu zastosowań.

Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy podzielić przedział całkowania:

$\int\limits_0^1 \cos(x) dx = \int\limits_0^{1/2} \cos(x) dx + \int\limits_{1/2}^1 \cos(x) dx \approx \left(\frac 1 2 - 0\right) \cos\left(\frac 1 4\right) + \left(1 - \frac 1 2\right) \cos\left(\frac 3 4\right) = 0.8503006452$

Z błędem bezwzględnym 0.0088296604 lub względnym 1%.

Dzieląc przedział całkowania na więcej fragmentów możemy uzyskać lepsze przybliżenie:

Ilość części	Wynik	Błąd
1	0.8775825619	0.0361115771
2	0.8503006452	0.0088296604
4	0.8436663168	0.0021953320
8	0.8420190672	0.0005480824

[edytuj] Przykład 2

Całkowanie numeryczne przebiegów czasowych. Spróbujmy scałkować spróbkowany przebieg $sin(t)$ na przedziale od 0 do $4\cdot\pi$ [s]. Oznaczmy częstotliwość próbkowania przebiegu przez $f p$ [Hz].

Do obliczeń wykorzystamy metodę prostokątów. Średnica podziału $t_p=\frac{1}{f_p}=t_{i+1}-t_i$ wynosi 1. Niech $X i (t)$ oznacza próbkę po całkowaniu. Każdy wyraz $X i$ można obliczyć jako sumę częściową:

$X_i=\sum_{n=0}^{i} x_i(t)t_p$

Kategoria: Metody numeryczne

Medyka: ''Mrówki'' zgromadziły się przed Urzędem Miasta

Około stu osób, tzw. mrówek, zebrało się przed Urzędem Miasta Przemyśla. Protestują przeciwko zmianom przepisów celnych, które pozwalają przenosić przez granicę tylko 40 sztuk papierosów.

Amnestia dla wszystkich, którzy unikali służby wojskowej

Mężczyźni, którzy są zarejestrowani, lecz ukrywają się i ignorują wezwania - zostaną przeniesieni do rezerwy. Ci którzy ukrywali się przed rejestracją - teraz będą musieli najpierw się zarejestrować i dopiero wtedy zostaną przeniesieni do rezerwy - ogłosił dziś szef MON Bogdan Klich.

Gen. Sikorski nie został zastrzelony ani uduszony

Prezes IPN Janusz Kurtyka potwierdził, że gen. Władysław Sikorski zginął w katastrofie lotniczej. - W trakcie badań nie stwierdzono śladów, które by wskazywały, że generał został postrzelony bądź uduszony.

Wałęsa i inni nobliści na spotkaniu z młodzieżą

Były prezydent Lech Wałęsa uważa, że przyznanie mu 25 lat temu Pokojowej Nagrody Nobla było zachętą dla ruchu "Solidarność" do dalszego działania. Po konferencji prasowej prezydent, wraz z pozostałymi noblistami, weźmie udział w dyskusji z 600 młodymi ludźmi z całego kraju.

Kategoria A, życie z wyrokiem

Paweł od trzech lata żyje jak zbieg z więzienia. Jedna litera w książeczce wojskowej i sprzeciw wobec obowiązkowej służby wojskowej zmieniły jego życie. Dzisiaj ma szansę na amnestię, jeśli ogłosi ją Ministerstwo Obrony Narodowej.

Wizyta prezydenta w Azji skrócona, odwołano przyjęcie

Lech Kaczyński wróci do Polski wcześniej niż początkowo planowano. Polski prezydent miał wydać w sobotę przyjęcie w hotelu w Seulu. Jednak impreza została odwołana i w sobotę przed północą polska delegacja będzie już w kraju.

Sejm przeciw odwołaniu Komorowskiego

Sejm odrzucił wniosek PiS-u o odwołanie Bronisława Komorowskiego z funkcji marszałka Sejmu. Komorowski powiedział chwilę potem, że choć Sejm nie poparł PiS-u, to wniosek, debata i głosowanie to dla niego cenne doświadczenie: - Nauczyło mnie to, że trzeba miarkować także to, co chce się wyrazić językiem ironii - stwierdził. - Dziękuję wszystkim - zakończył.

A co mnie jakiś barman na Cyprze obchodzi?

Tymi słowami Jacek Kurski skomentował doniesienia Polaka, pracującego w hotelu na Cyprze, o pijanych dwóch posłach PiS, którzy zniszczyli hotelowe wózki golfowe. Kurski zapewnił też o swoim poparciu dla kolegów i porównał całą sprawę do swojego niedawnego drogowego wybryku, czyli "rzekomej afery, która podnieciła tabloidy".

Lądowanie z turbulencjami: Lech Kaczyński przybył do Seulu

Prezydent RP Lech Kaczyński przybył około godz. 5.50 rano czasu polskiego do Seulu. Wizyta w Korei Południowej ma charakter oficjalny i kończy trwającą od niedzieli podróż prezydenta po Azji.

Marcinkiewicz na Platformie do Strasburga

Były premier Kazimierz Marcinkiewicz na pierwszym miejscu warszawskiej listy PO do Parlamentu Europejskiego. Taki wariant rozważają liderzy partii - dowiedziała się „Gazeta”

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Całkowanie numeryczne

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Metoda prostokątów

[edytuj] Metoda trapezów

[edytuj] Metoda parabol (Simpsona)

[edytuj] Metody losowe

[edytuj] Przykład - metoda prostokątów

[edytuj] Przykład 2

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach