Pozytywne informacje z Polski i ze Świata.

Tutaj znajdziesz je wszystkie!

Ciąg uogólniony

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Ciąg uogólniony - w teorii mnogości, rozszerzenie pojęcia ciągu na odwzorowania zbiorów skierowanych w dowolne zbiory. Dla ciągów uogólnionych możemy wprowadzać pojęcie zbieżności czy punktów skupienia. W szczególności, każdy ciąg jest ciągiem uogólnionym.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Niech X będzie niepustym zbiorem, ( \Sigma, \leq ) zbiorem skierowanym. Ciągiem uogólnionym nazywamy zbiór S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}[1], gdzie xσ jest elementem zbioru X przyporządkowanym elementowi \sigma\in\Sigma.

[edytuj] Punkty skupienia i granica

Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Punkt x\in X nazywamy punktem skupienia ciągu uogólnionego S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}, jeśli

\bigwedge_{U\subseteq X}\bigwedge_{\sigma_0\in \Sigma}\bigvee_{\sigma\geq \sigma_0}x_\sigma\in U

gdzie U oznacza otoczenie punktu x.

Punkt x\in X nazywamy granicą ciągu uogólnionego S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\} jeśli

\bigwedge_{U\subseteq X}\bigvee_{\sigma_0\in \Sigma}\bigwedge_{\sigma\geq \sigma_0}x_\sigma\in U

gdzie U, tak jak poprzednio, oznacza otoczenie punktu x. Mówimy wtedy również, że S jest zbieżny do x.

Ciąg uogólniony może być zbieżny do więcej niż jednej granicy. Zbiór wszystkich granic ciągu S oznaczamy \lim S albo \lim_{\sigma\in\Sigma}S.

[edytuj] Subtelniejsze ciągi uogólnione

Pojęcie subtelniejszego ciągu uogólnionego jest analogią pojęcia podciągu.

Ciąg uogólniony S=\{x_{\sigma^\prime}\colon\; \sigma^\prime\in\Sigma^\prime\} nazywamy subtelniejszym od ciągu S=\{x_{\sigma}\colon\; \sigma\in\Sigma\}, jeśli istnieje funkcja \varphi\colon \Sigma^\prime\to\Sigma, spełniająca warunki:

  1. \bigwedge_{\sigma_0\in\Sigma}\bigvee_{\sigma_0^\prime\in\Sigma^\prime}\left[ \sigma^\prime\geq \sigma_0^\prime \Rightarrow \varphi(\sigma^\prime)\geq \sigma_0\right].
  2. \bigwedge_{\sigma^\prime\in\Sigma^\prime}x_{\varphi(\sigma^\prime)}=x_{\sigma^\prime}.

[edytuj] Własności

  • Jeśli punkt x jest punktem skupienia ciągu uogólnionego S^\prime subtelniejszego od S, to x jest punktem skupienia S.
  • Jeśli punkt x jest granicą ciągu uogólnionego S, to jest także granicą subtelniejszego ciągu uogólnionego S^\prime.
  • Jeśli punkt x jest punktem skupienia ciągu uogólnionego S, to jest granicą pewnego ciągu uogólnionego S^\prime, subteleniejszego od S.

[edytuj] Literatura

  1. Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976. 

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ Czasem piszemy także S=(x_\sigma)_{\sigma\in\Sigma}.
Straż Graniczna rozbiła grupę przemytników

Funkcjonariusze Nadbużańskiego Oddziału Straży Granicznej (NOSG) rozbili grupę, zajmującą się obrotem towarami, głównie papierosami, bez polskich znaków skarbowych akcyzy. Zatrzymano trzy osoby.

Kurski: widziałem ministra nawalonego jak Messerschmitt

Zdaniem Jacka Kurskiego Elżbieta Kruk padła ofiarą panującej w mediach niechęci do PiS. Na antenie Radia ZET poseł bronił swojej partyjnej koleżanki i opowiadał o ministrze rządu Donalda Tuska, który pijany przyszedł do studia telewizji Polsat.

Autobus wpadł do rowu, 12 rannych

Na drodze wojewódzkiej nr 865 Jarosław - Lubaczów autobus wpadł do rowu w miejscowości Makowisko (Podkarpackie). 12 osób - uczestników wycieczki - trafiło do szpitala. Na razie nie wiadomo, jak poważne odnieśli obrażenia.

Zachodniopomorskie: Ok. 10 tys. osób bez prądu

W Zachodniopmorskiem wraca zasilanie do powiatów pyrzyckiego i stargardzkiego. Usuwane są kolejne awarie stacji transformatorowych. Prace utrudnia jednak silny wiatr - poinformował rzecznik ENEA OPERATOR Paweł Oboda. Porywisty wiatr i śnieżyce uszkodziły 250 stacji transformatorowych. Ok. 10 tys. mieszkańców nie ma prądu.

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.
Straż Graniczna rozbiła grupę przemytników

Funkcjonariusze Nadbużańskiego Oddziału Straży Granicznej (NOSG) rozbili grupę, zajmującą się obrotem towarami, głównie papierosami, bez polskich znaków skarbowych akcyzy. Zatrzymano trzy osoby.

Kurski: widziałem ministra nawalonego jak Messerschmitt

Zdaniem Jacka Kurskiego Elżbieta Kruk padła ofiarą panującej w mediach niechęci do PiS. Na antenie Radia ZET poseł bronił swojej partyjnej koleżanki i opowiadał o ministrze rządu Donalda Tuska, który pijany przyszedł do studia telewizji Polsat.

Autobus wpadł do rowu, 12 rannych

Na drodze wojewódzkiej nr 865 Jarosław - Lubaczów autobus wpadł do rowu w miejscowości Makowisko (Podkarpackie). 12 osób - uczestników wycieczki - trafiło do szpitala. Na razie nie wiadomo, jak poważne odnieśli obrażenia.

Zachodniopomorskie: Ok. 10 tys. osób bez prądu

W Zachodniopmorskiem wraca zasilanie do powiatów pyrzyckiego i stargardzkiego. Usuwane są kolejne awarie stacji transformatorowych. Prace utrudnia jednak silny wiatr - poinformował rzecznik ENEA OPERATOR Paweł Oboda. Porywisty wiatr i śnieżyce uszkodziły 250 stacji transformatorowych. Ok. 10 tys. mieszkańców nie ma prądu.

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Jeśli skorzystałeś z informacji przedstawionych tutaj?

Nie bądź samolubem. Daj link do serwisu http://www.theplaceofhousesinc.com wszystkim z Twojego GG.