Ciało (matematyka)

Z Wikipedii

Ciało – nieformalnie: struktura (zbiór wraz z działaniami), w której wykonywalne są dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie elementów (z wyjątkiem dzielenia przez element zerowy). Ciało tworzą np. liczby wymierne, liczby rzeczywiste, liczby zespolone, funkcje wymierne o współczynnikach rzeczywistych. Każde ciało jest pierścieniem.

Spis treści 1 Definicja formalna 2 Ciała skończone i nieskończone 3 Podciała i rozszerzenia ciał 3.1 Przykłady 4 Własności ciała 5 Konstrukcje ciał 6 Przykłady 7 Historia nazwy 8 Bibliografia 9 Zobacz też

[edytuj] Definicja formalna

Ciało to struktura algebraiczna z dwoma działaniami, zwanymi dodawaniem i mnożeniem, spełniającymi następujące aksjomaty:

• zbiór z dodawaniem jest grupą abelową, gdzie element (tzw. zero) jest elementem neutralnym dodawania (nazywamy ją grupą addytywną ciała i oznaczamy ),
• zbiór z mnożeniem jest grupą abelową, gdzie (tzw. jedynka lub jedność) jest elementem neutralnym mnożenia (nazywamy ją grupą multiplikatywną ciała i oznaczamy ),
• zbiór jest co najmniej dwuelementowy (gdyż zawiera i - wynika to z istnienia grup addytywnej i multiplikatywnej),

• mnożenie jest obustronnie rozdzielne względem dodawania tj. dla mamy:
  • 
  • .

[edytuj] Ciała skończone i nieskończone

Wszystkie ciała skończone, tj. zawierające skończoną liczbę elementów mają elementów, gdzie jest liczbą pierwszą, jest liczbą naturalną. Ciała skończone o tej samej liczbie elementów są izomorficzne.

Ciało nieskończone to ciało zawierające nieskończoną liczbę elementów.

[edytuj] Podciała i rozszerzenia ciał

Niech będzie ciałem. Podciałem ciała nazywamy podpierścień ciała , który sam jest ciałem (ze względu na działania dziedziczone z ). Ciało nazywamy rozszerzeniem ciała .

[edytuj] Przykłady

• Zbiór liczb wymiernych jest podciałem ciała liczb rzeczywistych.
• Zbiór liczb rzeczywistych jest podciałem ciała liczb zespolonych.
• Ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciał liczb wymiernych i rzeczywistych.
• Nie istnieje podciało właściwe ciała liczb wymiernych.

[edytuj] Własności ciała

Każde ciało jest dziedziną całkowitości. Wynika to ze sposobu określenia ciała: ciało zawiera co najmniej dwa elementy oraz nie zawiera właściwych dzielników zera.

W ciele są dokładnie dwa ideały: ideał zerowy i całe ciało . Jeżeli bowiem ideał ciała nie jest zerowy, to zawiera element odwracalny względem mnożenia. Ideał ten jest więc równy .

[edytuj] Konstrukcje ciał

1. Ciało ułamków pierścienia całkowitego.
2. Jeśli I jest ideałem maksymalnym pierścienia R, to pierścień ilorazowy R/I jest ciałem.
3. Rozszerzenie K(a) ciała K o pierwiastek wielomianu nierozkładalnego to pierścień ilorazowy K[X]/(f(X)).
4. Rozszerzenie K(t) ciała K o element przestępny t (ciało funkcji wymiernych zmiennej t nad ciałem K) to ciało ułamków pierścienia wielomianów K[t].
5. Jeśli ciało K jest podciałem ciała L, a A jest podzbiorem L, to istnieje najmniejsze podciało K(A) ciała L zawierające K i A; jest ono częścią wspólną wszystkich podciał ciała L zawierających K i L. Każdy jego element jest ilorazem sum iloczynów element ciała K razy iloczyn elementów zbioru A.
6. Ultraprodukt ciał jest ciałem.

[edytuj] Przykłady

• ciało liczb wymiernych,
• ciało liczb rzeczywistych,
• ciało liczb zespolonych,
• ciało funkcji wymiernych o współczynnikach z innego ciała,
• ciało Z_p,
• ciało liczb p-adycznych ,
• ciało funkcji wymiernych jest przykładem ciała nieskończonego charakterystyki .

[edytuj] Historia nazwy

Pojęcia ciała (bez nadawania mu nazwy) używał już Évariste Galois, który odkrył i sklasyfikował ciała skończone; później podobnie postąpił Bernhard Riemann (w 1857), którego interesowały ciała funkcji meromorficznych. Richard Dedekind podał formalną definicję ciała pod nazwą dziedzina wymierności. Nazwa Körper (niem. ciało) pojawiła się podobno po raz pierwszy w Teorii liczb Dirichleta, w sensie zespół, poczet albo ucieleśnienie elementów powstających z operacji wymiernych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie). Problem pierwszeństwa jest skomplikowany: Dedekind był uczniem Dirichleta, napisał Suplementy do jego wykładów; w XI Suplemencie (IV wydanie, Brunszwik 1894) używana jest nazwa ciało. Angielscy matematycy używali krótko łacińskiego odpowiednika corpus, zaś francuscy matematycy używają do dziś pokrewnego corps, co znaczy ciało. Używane teraz po angielsku słowo field (co znaczy "pole") zapewne wprowadzili amerykańscy algebraicy, którzy początkowo używali również nazwy realm. W językach rosyjskim i ukraińskim ciało też nazywa się słowem oznaczającym "pole"; a słowem oznaczającym "ciało" w tych językach nazywa się pierścień z dzieleniem.

[edytuj] Bibliografia

Jerzy Browkin, Teoria ciał, PWN, Warszawa 1977.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• teoria ciał,
• ciało algebraicznie domknięte,
• ciało skończone,
• pierścień z dzieleniem.

Straż Graniczna rozbiła grupę przemytników

Funkcjonariusze Nadbużańskiego Oddziału Straży Granicznej (NOSG) rozbili grupę, zajmującą się obrotem towarami, głównie papierosami, bez polskich znaków skarbowych akcyzy. Zatrzymano trzy osoby.

Kurski: widziałem ministra nawalonego jak Messerschmitt

Zdaniem Jacka Kurskiego Elżbieta Kruk padła ofiarą panującej w mediach niechęci do PiS. Na antenie Radia ZET poseł bronił swojej partyjnej koleżanki i opowiadał o ministrze rządu Donalda Tuska, który pijany przyszedł do studia telewizji Polsat.

Autobus wpadł do rowu, 12 rannych

Na drodze wojewódzkiej nr 865 Jarosław - Lubaczów autobus wpadł do rowu w miejscowości Makowisko (Podkarpackie). 12 osób - uczestników wycieczki - trafiło do szpitala. Na razie nie wiadomo, jak poważne odnieśli obrażenia.

Zachodniopomorskie: Ok. 10 tys. osób bez prądu

W Zachodniopmorskiem wraca zasilanie do powiatów pyrzyckiego i stargardzkiego. Usuwane są kolejne awarie stacji transformatorowych. Prace utrudnia jednak silny wiatr - poinformował rzecznik ENEA OPERATOR Paweł Oboda. Porywisty wiatr i śnieżyce uszkodziły 250 stacji transformatorowych. Ok. 10 tys. mieszkańców nie ma prądu.

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.