Dowód niewymierności pierwiastka z dwóch
Z Wikipedii
Twierdzenie o niewymierności pierwiastka z 2 – geometryczny dowód twierdzenia znany był już w starożytności i był znany m. in. Pitagorejczykom, którzy jednakże nie rozprzestrzeniali wieści o tym, iż istnieją wielkości, które nie były dobrze znanymi liczbami naturalnymi, czy choćby wymiernymi.
Spis treści |
[edytuj] Twierdzenie
Liczba 
jest niewymierna.
[edytuj] Lemat
- Kwadrat parzystej liczby naturalnej jest liczbą parzystą, zaś nieparzystej – nieparzystą.
Innymi słowy: kwadrat liczby naturalnej n2 jest liczbą parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą parzystą.
[edytuj] Dowód lematu
Jeśli liczba naturalna n jest parzysta, czyli istnieje liczba naturalna k taka, że n = 2k, to:
Czynnik 
jako iloczyn liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Zatem n2, jako podwojona liczba naturalna, jest liczbą parzystą. Co dowodzi pierwszej części lematu.
Jeśli liczba naturalna n jest nieparzysta, czyli istnieje liczba naturalna k taka, że n = 2k + 1, to:
Czynnik 2k(k + 1) jako iloczyn liczb naturalnych jest liczbą naturalną. Zatem n2, jako suma liczby parzystej i jedności, jest liczbą nieparzystą. Co dowodzi drugiej części lematu.
Tym samym lemat został dowiedziony.
[edytuj] Dowód arytmetyczny
Dowód ten najłatwiej przeprowadzić nie wprost, to znaczy przez wykazanie nieprawdziwości zaprzeczenia twierdzenia. Przypuśćmy zatem, że jest liczbą wymierną.
Oznacza to, że istnieją takie dwie liczby naturalne L i M, że
Każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka nieskracalnego, zatem możemy założyć, że liczby L i M są względnie pierwsze, tj. nie posiadają wspólnych dzielników oprócz 1.
Stąd:
.- 2M2 = L2
Czyli liczba L2 jest parzysta. A to, na mocy lematu, oznacza, że L jest parzysta. Istnieje zatem liczba naturalna K taka, że L = 2K.
Podstawmy więc L = 2K do ostatniej równości:
- 2M2 = (2K)2 = 4K2
- 2K2 = M2
Zatem liczba M2 jest parzysta. A to, ponownie na mocy lematu, oznacza, że liczba M jest parzysta.
Otrzymaliśmy sprzeczność – założyliśmy, że L i M są względnie pierwsze, a otrzymaliśmy, iż posiadają one wspólny dzielnik 2. Sprzeczność ta kończy dowód – liczba jest niewymierna.
[edytuj] Dowód geometryczny
Załóżmy, że jest liczbą wymierną. Wtedy istnieją 
będące najmniejszymi liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi 
.
Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że stosunek długości przeciwprostokątnej do przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym równoramiennym wynosi . Weźmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 
długości n i przeciwprostokątnej AC długości m.
Niech 
, punkty 
leżą w tej kolejności na jednej prostej, oraz punkty 
leżą w tej kolejności na jednej prostej.
Niech F będzie punktem przecięcia odcinków DE i BC.
Otrzymaliśmy w ten sposób ΔEBF oraz ΔFDC, które są prostokątne i równoramienne, a ich przyprostokątne mają długość n' = m − n, zaś przeciwprostokątne m' = 2n − m.
Ponieważ n < m < 2n, to m − n < n oraz 2n − m < m.
Mamy zatem liczby całkowite 
spełniające 
co jest sprzeczne z początkowym założeniem, że są najmniejszymi liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi tę równość.
Zatem nie jest liczbą wymierną, co należało pokazać.
[edytuj] Zobacz też
| Senyszyn: Sejm nie jest wolny od picia, dziś trafiło na Kruk |
- Ze statystyki wynika, że 83 posłów nadużywa alkoholu, a 14 to alkoholicy. W rzeczywistości liczby te mogą być większe - pisze na swoim blogu posłanka Joanna Senyszyn. Podkreśla, że Sejm jako emanacja społeczeństwa, które reprezentuje, "nie jest wolny od plagi picia". |
| PO w ośrodku SPA podsumowują rok pracy rządu |
Z ponad dwugodzinnym opóźnieniem rozpoczęło się w piątek w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej dwudniowe wyjazdowe posiedzenie klubu parlamentarnego Platformy Obywatelskiej. Zjazd odbywa się w czterogwiazdkowym hotelu Ossa Congress and SPA z ofertą odnowy biologicznej. Klub podsumuje rok działania rządu i koalicji PO- PSL. Na posiedzenie przybył premier Donald Tusk i ministrowie. |
| Cenne mapy i listy Mickiewicza trafią do Polski |
Kolekcjoner Tomasz Niewodniczański powiedział w piątek, że zamierza wkrótce przekazać polską część swoich zbiorów kartograficznych i archiwalnych Zamkowi Królewskiemu w Warszawie. |
| Ruszył proces prześladowcy młodej dentystki |
Proces bezrobotnego Sebastiana W., który przez ponad rok miał nękać dwudziestokilkuletnią dentystkę, a także jej ojca i znajomego rozpoczął się dziś przed warszawskim sądem rejonowym. Oskarżony swe działania tłumaczył przed sądem "zakochaniem", nie przyznał się do przestępstw. |
| Zarzuty dla dwóch pracowników prezydenta Karnowskiego |
Prokuratura postawiła zarzuty sekretarzowi miasta oraz kierowcy prezydenta Sopotu, Jacka Karnowskiego. Obaj mieli brać udział w ustawieniu przetargu na auto dla prezydenta. |
| Warszawa się wali: most z dziurą na wylot |
Od piątku nie można jeździć przez mostek na Kanale Żerańskim w Kobiałce - oberwał się z niego kawałek jezdni. Pogotowie drogowe w ostatniej chwili zawróciło dwie betoniarki zmierzające nim na pobliską budowę. Zarząd Transportu Miejskiego musiał wycofać autobusy |
| Pogoda na weekend: będzie zimno i spadnie śnieg |
Przed intensywnymi opadami śniegu oraz oblodzeniem na drogach ostrzega Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej (IMGW). Utrudnienia komunikacyjne mogą wystąpić już w piątek po południu. |
| 28 osób oskarżonych o fałszowanie list poparcia przed wyborami |
28 osób z Rybnika i okolic zostało oskarżonych o złamanie prawa przy zbieraniu i sporządzaniu list poparcia dla kandydatów na posłów w wyborach do Sejmu w 2005 roku. |
| Złożono kwiaty pod tablicą górników poległych w "Halembie" |
Modlitwą i złożeniem kwiatów przed tablicą z nazwiskami poległych w kopalni "Halemba" w Rudzie Śląskiej górników zakończyły się obchody rocznicy katastrofy w tej kopalni sprzed dwóch lat. |
| Małkowski: prawda jest moją tarczą |
Czesław Jerzy Małkowski, który stracił stanowisko prezydenta Olsztyna w niedzielnym referendum, podziękował mieszkańcom za udzielone mu wsparcie i po raz kolejny zapewnił, że udowodni swą niewinność przed niezawisłym sądem. |
