Element odwracalny

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Element odwracalny danej struktury algebraicznej względem danego dwuargumentowego działania wewnętrznego to taki element, dla którego istnieje element odwrotny względem tego działania.

Ściślej, jeśli dana jest struktura algebraiczna $(A,h_1,h_2,\dots,h_n)$ , a $h_1,h_2,\dots,h_n$ są działaniami wewnętrznymi w zbiorze $A$ , to element $a\in A$ nazywamy odwracalnym względem działania $h i$ , gdzie $i = 1,..., n$ jest ustalone, wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące dwa warunki:

działanie $h i$ posiada element neutralny $e\in A$ ,
$\exist_{b\in A}\; h_i(a,b)=h_i(b,a)=e$ .

Wówczas element $b$ nazywamy elementem odwrotnym do $a$ względem działania $h i$ .

Ponadto, wyróżnić możemy elementy lewostronnie odwracalne i elementy prawostronnie odwracalne. Jeżeli $e\in A$ jest elementem neutralnym działania $h i$ , to $a\in A$ nazywamy lewostronnie odwracalnym, gdy $\exists_{b\in A}h_i(b,a)=e$ , zaś prawostronnie odwracalnym, gdy $\exists_{b\in A}h_i(a,b)=e$ . Jeżeli działanie $h i$ jest przemienne, to każdy element lewostronnie lub prawostronnie odwracalny jest odwracalny. Jeżeli działanie $h i$ jest łączne, to element będący jednocześnie lewostronnie odwracalny i prawostronnie odwracalny jest odwracalny.

[edytuj] Odwracalność w konkretnych strukturach

Poniżej znajduje się omówienie własności odwracalności w najczęściej rozpatrywanych strukturach algebraicznych. Największe znaczenie pojęcie to ma w przypadku pierścieni.

W grupach każdy element jest odwracalny, co wynika bezpośrednio z definicji tej struktury.

W pierścieniu łącznym $P$ z jedynką element $a$ nazywa się odwracalnym, jeśli $\exist_{b \in P}\; ab = ba = 1$ . Element $a$ nazwiemy lewostronnie odwracalnym, jeśli $\exist_{b \in P}\; ba = 1$ . Analogicznie, element $a$ nazwiemy prawostronnie odwracalnym, jeśli $\exist_{c \in P}\; ac = 1$ . Jeśli element jest prawostronnie i lewostronnie odwracalny, to zachodzi $b = b (a c) = (b a) c = c$ (na mocy łączności multiplikatywnego działania w pierścieniu) i wówczas element $b$ nazywa się elementem odwrotnym do $a$ i oznacza $a - 1$ lub $- a$ . Gdy pierścień $P$ jest pierścieniem przemiennym, to każdy lewostronnie lub prawostronnie odwracalny element jest odwracalny. Łatwo wykazać, że zbiór elementów odwracalnych danego pierścienia tworzy grupę multiplikatywną.

Każdy niezerowy element dowolnego ciała jest elementem odwracalnym. Jest to warunek konieczny, by pierścień był ciałem. Jeśli pierścień jest niezerowy (zawiera przynajmniej dwa elementy, oznaczane $0$ i $1$ ), to jest to warunek konieczny i wystarczający.

Każda algebra nad ciałem jest pierścieniem łącznym z jedynką, warunki odwracalności są więc identyczne, jak w przypadku pierścieni.

[edytuj] Przykłady

W zbiorze macierzy kwadratowych danego stopnia $n$ z określonym w tym zbiorze zwykłym mnożeniem macierzy, elementami odwracalnymi są wszystkie macierze nieosobliwe.
W każdym pierścieniu (z jedynką) jedynka jest elementem odwracalnym, zaś element do niej odwrotny jest jej równy.
W pierścieniu $\mathbb Z_p$ , gdzie $p$ jest liczbą pierwszą, każdy niezerowy element jest odwracalny.
W pierścieniu $\mathbb Z_n$ , gdzie $n$ nie jest liczbą pierwszą, istnieją elementy, które nie są odwracalne, np. w pierścieniu $\mathbb Z_4$ elementami odwracalnymi są elementy $1$ i $3$ .

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Algebra

Ukryta kategoria: Zalążki artykułów

Trzech nastolatków śmiertelnie pobiło 51-latka

Łódzka policja zatrzymała trzech nastolatków, którzy śmiertelnie pobili 51-letniego mężczyznę. Dwóch z nich może trafić na 10 lat do więzienia.

Straż Graniczna rozbiła grupę przemytników

Funkcjonariusze Nadbużańskiego Oddziału Straży Granicznej (NOSG) rozbili grupę, zajmującą się obrotem towarami, głównie papierosami, bez polskich znaków skarbowych akcyzy. Zatrzymano trzy osoby.

Kurski: widziałem ministra nawalonego jak Messerschmitt

Zdaniem Jacka Kurskiego Elżbieta Kruk padła ofiarą panującej w mediach niechęci do PiS. Na antenie Radia ZET poseł bronił swojej partyjnej koleżanki i opowiadał o ministrze rządu Donalda Tuska, który pijany przyszedł do studia telewizji Polsat.

Autobus wpadł do rowu, 12 rannych

Na drodze wojewódzkiej nr 865 Jarosław - Lubaczów autobus wpadł do rowu w miejscowości Makowisko (Podkarpackie). 12 osób - uczestników wycieczki - trafiło do szpitala. Na razie nie wiadomo, jak poważne odnieśli obrażenia.

Zachodniopomorskie: Ok. 10 tys. osób bez prądu

W Zachodniopmorskiem wraca zasilanie do powiatów pyrzyckiego i stargardzkiego. Usuwane są kolejne awarie stacji transformatorowych. Prace utrudnia jednak silny wiatr - poinformował rzecznik ENEA OPERATOR Paweł Oboda. Porywisty wiatr i śnieżyce uszkodziły 250 stacji transformatorowych. Ok. 10 tys. mieszkańców nie ma prądu.

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Element odwracalny

Z Wikipedii

[edytuj] Odwracalność w konkretnych strukturach

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach