Funkcja

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Skocz do: nawigacji, szukaj

Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja – intuicyjnie: sposób przyporządkowania każdemu elementowi danego zbioru X dokładnie jednego elementu pewnego zbioru Y.

Ściśle funkcja jest definiowana jako relacja pomiędzy elementami zbioru $X$ (dziedziny) i elementami zbioru $Y$ (przeciwdziedziny), o tej własności, że każdy element zbioru $X$ jest w relacji z jednym i tylko jednym elementem zbioru $Y$ .

[edytuj] Przykłady

Załóżmy, że między dwoma liczbami całkowitymi $x\,$ i $y\,$ zachodzi związek $y = 2x\,$ . Ta zależność pozwala jednoznacznie wyznaczyć $y\,$ mając dany $x\,$ , np. dla $x = 5\,$ mamy $y = 10\,$ , dla $x = 2\,$ mamy $y = 4\,$ . Jest to zatem funkcja.

Każda funkcja przyporządkowuje argumentom (tutaj oznaczanym $x\,$ ) odpowiadające im wartości (tutaj oznaczane $y$ ). Oznaczając funkcję literą $f\,$ , wartość dla argumentu $x$ zapisuje się $f(x)\,$ (czyt. "f od x")^[1]. Tak więc dla argumentu $5\,$ wartością funkcji $f\,$ jest $10\,$ , czyli $f(5) = 10\,$ .

Dziedziną funkcji nazywa się zbiór wszystkich argumentów, a zbiorem wartości (obrazem) zbiór wszystkich wartości przyjmowanych przez funkcję; w tym przykładzie dziedziną jest zbiór liczb całkowitych, a zbiorem wartości zbiór liczb parzystych. Często wymaga się podania przeciwdziedziny, która zawiera zbiór wartości, lecz nie musi być mu równa^[2]. Jeżeli w przykładzie za przeciwdziedzinę obierzemy zbiór liczb całkowitych, to liczby nieparzyste nie będą w zbiorze wartości.

Zdanie " $f$ jest funkcją o dziedzinie $X\,$ i przeciwdziedzinie $Y\,$ " zapisuje się $f\colon X \to Y\,$ , zbiór wszystkich funkcji $X \to Y\,$ zapisuje się $Y^X\,$ .

Funkcje nie muszą odnosić się do liczb. Przykłady:

przyporządkowanie każdemu ciału fizycznemu jego środka ciężkości,
przyporządkowanie każdemu mieszkańcowi miasta jego pierwszego imienia,
symetria względem prostej,
symetria względem punktu.

[edytuj] Nazwa

W matematyce określenia: funkcja, przekształcenie, odwzorowanie, transformacja, operator, działanie, itd. są zwykle synonimami. Jednakże w różnych dyscyplinach matematycznych preferowane jest używanie niektórych z nich, znaczenie niektórych zostało zaś zawężone. Użycie konkretnej nazwy podyktowane jest dzisiaj przede wszystkim względami historycznymi.

Choć w analizie matematycznej rozpatruje się przede wszystkim funkcje, to w geometrii, algebrze liniowej mówi się o przekształceniach (przekształceniach liniowych), w algebrze uniwersalnej rozważa się z kolei działania, zaś w analizie funkcjonalnej bada się własności operatorów, czy funkcjonałów.

[edytuj] Sposoby określenia funkcji

Funkcja przedstawiona jako graf. Każdemu argumentowi ze zbioru $X\,$ przyporządkowano dokładnie jeden element ze zbioru $Y\,$ . Dwóm różnym elementom w $X\,$ może odpowiadać ten sam element $Y\,$ . Nie każdy element zbioru $Y\,$ musi być wartością funkcji.

Jeżeli dziedzina $X\,$ jest skończona, wystarczy wymienić wszystkie pary argument – wartość. Można to zrobić za pomocą grafu (przykład obok).

Najczęściej funkcje definiuje się wzorem lub ogólniej – algorytmem^[3], tj. metodą pozwalającą znaleźć $f(x)\,$ dla danego $x \in X\,$ . Możliwe jest użycie rekursji, rozwinięcia w szereg potęgowy itp.

Oczywiście powyższe metody nie wykluczają opisu słownego, który bywa niekiedy wygodniejszy, np. "każdej liczbie całkowitej dodatniej $n\,$ przyporządkowujemy $n\,$ -tą liczbę pierwszą".

W matematyce stosowanej funkcje często określa się za pomocą tabeli lub wykresu. Nie pozwala to na ogół ustalić dokładnej zależności, lecz przy pewnych założeniach możliwa jest ich interpolacja (przybliżanie), całkowanie numeryczne itp.

[edytuj] Pojęcia

[edytuj] Złożenie. Iteracja

Zobacz więcej w osobnym artykule: złożenie funkcji.

Dwie funkcje

f

g

. Ich złożenie przyjmuje wartości:
$(g \circ f)(\mbox{a})=$ @
$(g \circ f)(\mbox{b})=$ @
$(g \circ f)(\mbox{c})=$ #
$(g \circ f)(\mbox{d})=$ !!

Mając dwie funkcje $f\colon X \to Y$ i $g\colon Y \to Z$ można utworzyć funkcję złożoną $(g \circ f)\colon X \to Z$ , określoną wzorem $(g \circ f)(x) = g\left(f(x)\right)$ .

Wielokrotne złożenie funkcji $f\colon X \to X$ nosi nazwę iteracji. Ściśle: $n$ -tą iteracją funkcji $f$ nazywa się funkcję

$f^n = \begin{matrix}\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}\\{n}\\[-4ex]\end{matrix}$

[edytuj] Funkcja różnowartościowa

Zobacz więcej w osobnym artykule: funkcja różnowartościowa.

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją różnowartościową (iniekcją), gdy jej wartości dla różnych argumentów są różne. Symbolicznie:

$x_{1} \ne x_{2} \implies f(x_{1}) \ne f(x_{2})$ dla $x_{1}, x_{2} \in X$

Przykładem funkcji różnowartościowej jest funkcja określona wzorem $f\colon \mathbb R \to \mathbb R,\; f(x) = x + 5$ .

[edytuj] Funkcja "na"

Zobacz więcej w osobnym artykule: funkcja "na".

Funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się funkcją "na" (suriekcją), jeżeli jej przeciwdziedzina $Y$ jest równocześnie jej zbiorem wartości.Oznacza to, że dla każdego $y \in Y$ istnieje co najmniej jedno $x \in X$ takie, że $f (x) = y$ .

[edytuj] Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Zobacz więcej w osobnych artykułach: funkcja wzajemnie jednoznaczna, permutacja.

Funkcję będącą jednocześnie różnowartościową i "na" nazywa się funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją). Innymi słowy, bijekcja przyporządkowuje każdemu $x \in X$ dokładnie jedno $y \in Y$ (i na odwrót). Bijekcja $f\colon X \to Y$ może istnieć tylko wtedy, gdy zbiory $X$ i $Y$ mają tyle samo elementów (są równej mocy). Bijekcję $f\colon X \to X$ nazywa się permutacją.

[edytuj] Funkcja odwrotna

Zobacz więcej w osobnym artykule: funkcja odwrotna.

Dla każdej funkcji wzajemnie jednoznacznej można określić funkcję $f^{-1}\colon Y \to X$ taką, że $(f \circ f^{-1})(x) = x$ , którą nazywa się wówczas funkcją odwrotną.

[edytuj] Punkt stały

Zobacz więcej w osobnym artykule: punkt stały.

Jeżeli dla pewnego $x \in X$ zachodzi $f (x) = x$ , wtedy $x$ nazywa się punktem stałym funkcji $f$ . Przykładowo, jeżeli $S l$ jest symetrią względem prostej $l$ , to dla punktów $P$ leżących na $l$ zachodzi $S l (P) = P$ .

[edytuj] Niezmiennik

Jeżeli funkcja nie zmienia pewnej cechy obiektów, to tę cechę nazywa się niezmiennikiem funkcji. Przykładowo, niezmiennikiem funkcji $f\colon\mathbb R \to \mathbb R,\; f(x) = -x$ jest wartość bezwzględna liczby rzeczywistej. Istotnie: $| f (x) | = | - x | = | x |$ . Niezmiennikiem funkcji $f (x) = 2 x$ jest znak liczby: wartość funkcji dla liczby dodatniej jest liczbą dodatnią, dla zera jest równa zeru, dla liczby ujemnej jest liczbą ujemną.

[edytuj] Zawężenie

Mając daną funkcję $f\colon X \to Y$ można określić jej zawężenie (obcięcie) do zbioru $M \subseteq X$ . Jest to funkcja $f|_M\colon M \to Y$ taka, że $f|_M(x) = f(x)\,$ dla każdego $x \in M$ .

Jeżeli $f\colon X \to Y$ jest funkcją, a $f|_M\colon M \to Y$ jest jej zawężeniem do zbioru $M \subset X$ , to dla dowolnego zbioru $B \subset Y$ mamy $\left(f|_M \right)^{-1} (B) = M \cap f^{-1}(B)$ .

[edytuj] Obraz

Zobacz więcej w osobnym artykule: obraz (matematyka).

Obrazem zbioru $A \subseteq X$ poprzez funkcję $f\colon X \to Y$ nazywa się podzbiór elementów $y \in Y$ , dla których istnieje $x \in A$ że $f (x) = y$ . Symbolicznie:

$f(A) = \left\{y \in Y\colon \exists_{x \in A}\; y = f(x)\right\} \subseteq Y$ ,

Przykładowo, obrazem zbioru liczb dodatnich poprzez funkcję $f (x) = - x$ jest zbiór liczb ujemnych. Obrazem dziedziny funkcji poprzez tę funkcję jest jej zbiór wartości nazywany również obrazem funkcji.

[edytuj] Przeciwobraz

Zobacz więcej w osobnym artykule: przeciwobraz.

Przeciwobrazem zbioru $B \subseteq Y$ nazywa się zbiór argumentów $x \in X$ , którym są przyporządkowane elementy zbioru $B$ :

$f^{-1}(B) = \left\{x \in X\colon \exist_{y \in B}\; f(x) = y\right\} \subseteq X$ .

[edytuj] Wykres

Zobacz więcej w osobnym artykule: wykres funkcji.

Wykresem funkcji $f$ na zbiorze $A \subseteq X$ nazywa się zbiór par uporządkowanych $\left(x, f(x)\right)$ dla $x \in A$ .

$W_f(A) = \left\{\left(x, f(x)\right)\colon x \in A \right\} \subseteq X \times Y$ .

Wykres funkcji $W f (A)$ nie jest tym samym co jej obraz $f (A)$ : pierwszy z nich jest zbiorem par uporządkowanych elementów dziedziny i przeciwdziedziny (argumentów i ich obrazów), drugi zaś wyłącznie podzbiorem przeciwdziedziny.

[edytuj] Funkcje w analizie matematycznej

Funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej nazywa się każdą funkcję $f\colon X \to Y$ gdzie $X, Y \subseteq \mathbb R$ . Podobnie definiuje się funkcję zespoloną zmiennej zespolonej. Funkcje te są rozważane głównie w działach analizy matematycznej: analizie rzeczywistej i analizie zespolonej.

Na takich funkcjach można wykonywać działania:

$(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$
$(f g)(x) = f (x) g (x)$

$(\tfrac{f}{g})(x) = \tfrac{f(x)}{g(x)}$ dla $g(x) \ne 0$

o ile tylko $x$ należy zarówno do dziedziny $f$ jak i dziedziny $g$ .

Matematycznym modelem zbioru funkcji z określonymi działaniami jest przestrzeń funkcyjna.

[edytuj] Rodzaje

Niektóre szczególne rodzaje funkcji wraz z nieścisłym opisem:

funkcje monotoniczne – wartości dla kolejnych argumentów są coraz większe, mniejsze, nie mniejsze, nie większe lub stałe,
funkcje ograniczone – zbiór wartości jest ograniczony,
funkcje parzyste i nieparzyste – wykres jest symetryczny względem osi $O Y$ bądź początku układu współrzędnych;
funkcje okresowe – wartości "powtarzają się" co pewną ustaloną wartość nazwaną okresem,
funkcje ciągłe – można nakreślić ich wykres bez odrywania ołówka od kartki,
funkcje różniczkowalne – mające pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny.

Zobacz też: funkcje elementarne, funkcje specjalne, badanie przebiegu zmienności funkcji

[edytuj] Definicja formalna

Nieformalna definicja funkcji jako przyporządkowania jest używana również dzisiaj, np. w podręcznikach wprowadzających do analizy matematycznej. Jest ona wystarczająca dla dużej liczby zastosowań, lecz używa pojęcia "przyporządkowania", którego sens trudno oddać w ścisły sposób.

Funkcją ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywa się podzbiór iloczynu kartezjańskiego $W \subseteq X \times Y$ (relację dwuargumentową) spełniający warunki

$\forall_{x \in X}\; \exists_{y \in Y}\; x\ f\ y$ ,

$\forall_{x \in X}\; \forall_{y \in Y}\; \forall_{z \in Y}\; x\ f\ y \and x\ f\ z \implies y = z$ ,

czyli

każdy element zbioru

X

musi być w relacji z dokładnie jednym elementem zbioru

Y

Zbiór $X$ nazywa się dziedziną funkcji, zbiór $Y$ jej przeciwdziedziną. Zbiór $W$ nazywa się wykresem funkcji.

Jeżeli $x \in X, (x,y)\in W$ to mówimy, że wartością funkcji dla $x$ jest $y$ , co zapisuje się $f (x) = y$ . Z definicji wynika, że $y$ jest wyznaczone jednoznacznie. Dla $x \notin X$ symbol $f (x)$ jest nieokreślony.

Przy określaniu funkcji należy podać przeciwdziedzinę, ponieważ nie wyznacza jej zbiór $W$ . Jednak często (np. w teorii mnogości) funkcje i ich wykresy są utożsamiane; wówczas podanie przeciwdziedziny nie jest wymagane. Niekiedy funkcję definiuje się jako trójkę uporządkowaną $(X,\; Y,\; f)$ ; przy takiej definicji, funkcje o różnych przeciwdziedzinach są różne.

[edytuj] Funkcje jako struktury

Funkcje odgrywają ważną rolę w matematyce jako środki pomocnicze do tworzenia większych struktur (układów).

Przykład: Zapiszmy liczby $4,5,6,7$ w tabeli $2 \times 2$ .

$\begin{pmatrix} 4 & 5\\ 6 & 7\\ \end{pmatrix}$

Taką tabelę można przedstawić w postaci funkcji, która przyporządkowuje każdemu miejscu w tabeli jedną z liczb. Poszczególne miejsca będą reprezentowane jako pary

(i, j)

oznaczające numer wiersza i kolumny:

$(2, 1) \mapsto 6$

Ogólnie każdą taką tabelę można zapisać w postaci funkcji

$\{(1, 1),\ (1, 2),\ (2, 1),\ (2, 2)\} \to \mathbb R,\quad (i,j )\mapsto a_{ij}$

wtedy będą znajdować się w niej liczby

a 11

a 12

a 21

a 22

W taki sposób definiuje się obiekty takie jak ciągi i macierze. Należy pamiętać o różnicach w nomenklaturze: mimo że ciągi i macierze są funkcjami, to mówi się o "wyrazach" i "wskaźnikach", a nie "wartościach" i "argumentach" ciągu, "elementach", a nie "wartościach" macierzy.

[edytuj] Równania funkcyjne

Zobacz więcej w osobnym artykule: równanie funkcyjne.

Równanie funkcyjne to równanie, w którym niewiadomą jest funkcja. Przykładami mogą być równania różniczkowe i równania całkowe.

[edytuj] Uogólnienia

[edytuj] Funkcje wielu zmiennych

Zobacz więcej w osobnym artykule: funkcja wielu zmiennych.

Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór par uporządkowanych $(x, y)$ , to można mówić o funkcji dwóch zmiennych. Przykładowo, jeżeli każdej parze $(x, y)$ liczb całkowitych przyporządkujemy ich iloczyn $x y$ , można mówić o funkcji

f ((x, y)) = x y

definiującej działanie mnożenia w tym zbiorze, zwykle jednak stosuje się notację

f (x, y) = x y

W geometrii przykładem funkcji dwóch zmiennych jest odległość. W analogiczny sposób definiuje się funkcje większej liczby zmiennych.

[edytuj] Funkcje wielowartościowe

Zobacz więcej w osobnym artykule: multifunkcja.

Zwykle rozważa się funkcje jednowartościowe i nazywa się je po prostu funkcjami. Niekiedy, np. w kontekście liczb zespolonych bada się funkcje wielowartościowe (multifunkcje), takie jak $ln x$ , $arg x$ , $arcsin x$ , $x 1 / 2$ . Każda funkcja wielowartościowa ze zbioru $X$ w $Y$ może być przedstawiona jako funkcja jednowartościowa ze zbioru $X$ w zbiór potęgowy $\mathcal{P}(Y)$ . Za funkcję wielowartościową można uważać także operator całkowania,

$\int f(x)dx = F(x) + C$ ,

którego wartościami są rodziny funkcji pierwotnych.

[edytuj] Funkcje częściowe

Zobacz więcej w osobnym artykule: funkcja częściowa.

[edytuj] Dystrybucje

Zobacz więcej w osobnym artykule: dystrybucja (matematyka).

[edytuj] Morfizmy

Zobacz więcej w osobnym artykule: morfizm.

Na funkcję można patrzeć jako na przekształcenie

$f \colon a \to b$

jednego obiektu w drugi. Ten punkt widzenia uogólnia teoria kategorii przez pojęcie morfizmu.

Przykładowo, obiekty $a$ i $b$ mogą być zbiorami, a $f$ funkcją $f \colon a \to b$ ; $a$ i $b$ mogą być zbiorami uporządkowanymi, a $f$ funkcją monotoniczną; $a$ i $b$ strukturami algebraicznymi, a $f$ homomorfizmem; $a$ i $b$ formułami, a $f$ wyprowadzeniem (dowodem) $b$ z $a$ ; $a$ i $b$ liczbami naturalnymi, a $f$ macierzą $b \times a$ . We wszystkich przypadkach dla każdego obiektu mamy morfizm identycznościowy (np. identyczność, dowód pusty, macierz jednostkowa) i składanie morfizmów (składanie funkcji, składanie dowodów, mnożenie macierzy). Za pomocą właśności morfizmów możemy określić wiele pojęć bez odwoływania się do "wnętrza" obiektów, np. możemy zdefiniować produkt, który w zależności od kategorii może być iloczynem kartezjańskim zbiorów, iloczynem grup, koniunkcją formuł itd.

[edytuj] Rys historyczny

Poszukiwaniem wzajemnych zależności między różnymi wielkościami zajmowali się już starożytni Grecy, jednak pierwszą ogólną definicję funkcji podał dopiero w 1718 r. matematyk szwajcarski Jan Bernoulli.

Pełną definicję funkcji (jako przyporządkowania) pierwszy sformułował matematyk niemiecki Peter Gustav Lejeune Dirichlet w 1837 r. Dzisiaj pojęcie funkcji jest jednym z najważniejszych pojęć matematyki.

Przypisy

↑ Przy często używanych funkcjach nawias jest pomijany: $\sin x\,$ lub $\ln x\,$ . W niektórych wypadkach symbol funkcji pisze się po argumencie, np. $n!\,$ (czyt. "n silnia")
↑ W niektórych źródłach, wyraz "przeciwdziedzina" uważa się za synonim słowa "zbiór wartości", w innych zaś nie. Dlatego w matematyce wyższej nie używa się pojęcia "zbioru wartości", a "obrazu" (objaśnione poniżej)
↑ Taki algorytm musi być deterministyczny, tj. wyjścia dla takich samych wejść powinny być równe.

[edytuj] Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Pojęcie funkcji

Kategoria: Funkcje matematyczne

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt nie jest już wiceministrem sportu

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt został odwołany ze stanowiska wiceministra sportu.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.