Ideał (teoria mnogości)

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Ideał – w teorii porządków częściowych, teorii mnogości i pokrewnych dziedzinach matematyki pojęcie dualne do pojęcia filtru.

Spis treści

1 Intuicje
2 Definicje
3 Przykłady
- 3.1 Ideały w algebrach Boole'a
- 3.2 Ideały podzbiorów danego zbioru
4 Dodatkowe pojęcia
5 Własności i i zastosowania
6 Zobacz też

[edytuj] Intuicje

Najogólniejsza definicja ideału jest formułowana dla częściowych porządków, ale jej specjalny przypadek ideału podzbiorów danego zbioru jest najlepszym źródłem intuicji. W tym ograniczonym kontekście, ideał to rodzina zbiorów w jakimś sensie małych. Wydaje się naturalnym, że pojęcie małych zbiorów powinno spełniać pewne podstawowe własności:

zbiór mniejszy od małego zbioru powinien być mały,
zbiór pusty powinien być mały, ale cała przestrzeń (uniwersum) nie powinna być mała,
suma dwóch małych zbiorów powinna być mała.

Rodzina zbiorów spełniająca powyższe wymagania (jako rodzina zbiorów małych) jest właśnie ideałem zbiorów, patrz poniżej.

[edytuj] Definicje

[edytuj] Ideały w porządkach

Niech $(P,\leq)$ będzie porządkiem częściowym. Powiemy, że zbiór $I\subseteq P$ jest ideałem w zbiorze uporządkowanym $P$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $I\neq \emptyset$ ,

(ii) jeśli $p,q\in P$ , $p\leq q$ oraz $q\in I$ , to również $p\in I$ ,

(iii) jeśli $p,q\in I$ , to można znaleźć $r\in I$ taki że $p\leq r$ oraz $q\leq r$ .

Ideał $I$ jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) $I\neq P$ .

[edytuj] Ideały w algebrach Boole'a

Ponieważ algebra Boole'a jest także zbiorem częściowo uporządkowanym, to definicja ideału w porządkach częściowych może być przeniesiona bez zmian na algebry Boole'a. Możemy jednak wykorzystać fakt, że porządek boole'owski jest związany z operacjami algebry i możemy sformułować definicję ideału trochę inaczej.

Niech $({\mathbb B},+,\cdot,\sim,{\bold 0},{\bold 1})$ będzie algebrą Boole'a. Powiemy, że zbiór $I$ jest ideałem w algebrze Boole'a ${\mathbb B}$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) ${\bold 0}\in I$ ,

(ii) jeśli $a,b\in {\mathbb B}$ , $a\leq b$ (tzn $a\cdot b=a$ ) oraz $b\in I$ , to również $a\in I$ ,

(iii) jeśli $a,b\in I$ , to $a+b\in I$ .

Ideał $I$ jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) ${\bold 1}\notin I$ .

Należy podkreślić, że powyższa definicja i ta przeniesiona z porządków częściowych są równoważne.

[edytuj] Ideały podzbiorów danego zbioru

Szczególnym przypadkiem algebry Boole'a jest rodzina wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru $S$ (z operacjami sumy, przekroju i dopełnienia zbiorów). Zatem sformułowana powyżej definicja ideału na algebrze Boole'a może być powtórzona bez zmian dla podzbiorów zbioru $S$ . Sformułujemy tę definicję jeszcze raz dla podkreślenia znaczenia intuicji, że ideał to rodzina małych podzbiorów $S$ .

Niech $S$ będzie niepustym zbiorem. Powiemy, że rodzina $I$ podzbiorów zbioru $S$ jest ideałem podzbiorów zbioru $S$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $\emptyset\in I$ ,

(ii) jeśli $A\subseteq B\subseteq S$ i $B\in I$ , to również $A\in I$ ,

(iii) jeśli $A,B\in I$ , to $A\cup B\in I$ .

Ideał $I$ jest właściwy jeśli dodatkowo

(iv) $S\notin I$ .

[edytuj] Ideały maksymalne

Ideał właściwy $I$ w porządku częściowym $(P,\leq)$ jest ideałem maksymalnym jeśli jedynym ideałem właściwym zawierającym $I$ jest samo $I$ .

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Ideały w algebrach Boole'a

Niech ${\mathcal K}_{\mathcal B}$ będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii. Wówczas ${\mathcal K}_{\mathcal B}$ jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
Niech ${\mathcal L}_{\mathcal B}$ będzie rodziną tych borelowskich podzbiorów prostej, które są miary zero Lebesgue'a. Wówczas ${\mathcal L}_{\mathcal B}$ jest ideałem w algebrze borelowskich podzbiorów prostej.
Przypuśćmy, że $F$ jest filtem w algebrze Boole'a ${\mathbb B}$ . Niech $F^c=\{\sim a:a\in F\}$ . Wówczas $F c$ jest ideałem w ${\mathbb B}$ . Warto zauważyć, że $F c$ jest ideałem maksymalnym wtedy i tylko wtedy gdy $F$ jest ulltrafiltrem.

[edytuj] Ideały podzbiorów danego zbioru

Niech $S$ będzie zbiorem nieskończonym. Rodzina $[S] < ω$ wszystkich skończonych podzbiorów $S$ jest ideałem podzbiorów $S$ . Jest on często nazywany ideałem Frécheta.
Niech $A\subsetneq X$ . Wówczas rodzina $I A$ wszystkich podzbiorów zbioru $A$ jest ideałem podzbiorów $X$ . Ideały tej postaci są nazywane ideałami głównymi i zwykle nie są one obiektem rozważań (tzn typowym założeniem o rozważanych ideałach jest że są one niegłówne).
Niech ${\mathcal K}$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów prostej rzeczywistej które są pierwszej kategorii, a ${\mathcal L}$ będzie rodziną tych wszystkich podzbiorów prostej które mają miarę Lebesgue'a zero. Wówczas zarówno ${\mathcal K}$ jak i ${\mathcal L}$ są ideałami podzbiorów prostej.
Przypuśćmy, że $(X,τ)$ jest przestrzenią topologiczną. Wówczas rodzina wszystkich nigdziegęstych podzbiorów przestrzeni $X$ tworzy właściwy ideał podzbiorów $X$ .
Niech $κ$ będzie nieprzeliczalną regularną liczbą kardynalną. Rozważmy rodzinę ${\mathcal NS}_\kappa$ tych podzbiorów $κ$ których dopełnienie zawiera domknięty nieograniczony podzbiór $κ$ . ${\mathcal NS}_\kappa$ jest ideałem podzbiorów $κ$ - zbiory z tego ideału są nazywane niestacjonarnymi podzbiorami $κ$ .

[edytuj] Dodatkowe pojęcia

Niech $κ$ będzie nieskończoną liczbą kardynalną. Mówimy, że ideał $I$ podzbiorów zbioru $S$ jest $κ$ -zupełny, jeśli suma mniej niż $κ$ zbiorów z ideału $I$ należy do $I$ .
Ideały $\aleph_1$ -zupełne na $S$ są nazywane $σ$ -ideałami podzbiorów $S$ . Tak więc $σ$ -ideał podzbiorów $S$ , to taki ideał $I$ podzbiorów $S$ , który spełnia następujący warunek:

(iii)^σ jeśli $A_0,A_1,A_2,\ldots\in I$ , to $\bigcup\limits_{n=0}^\infty A_n\in I$ .

Czasami dla ideałów podzbiorów jakiegoś zbioru bada się następujące funkcje kardynalne, nazywane też współczynnikami kardynalnymi ideału. Niech $I$ będzie takim ideałem podzbiorów zbioru $S$ , który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe. Określamy:

${\rm add}(I)=\min\{|{\mathcal A}|: {\mathcal A}\subseteq I \wedge \bigcup{\mathcal A}\notin I\big\},$

${\rm cov}(I)=\min\{|{\mathcal A}|:{\mathcal A}\subseteq I \wedge\bigcup{\mathcal A}=S\big\},$

${\rm non}(I)=\min\{|A|:A\subseteq S\ \wedge\ A\notin I\big\},$

${\rm cof}(I)=\min\{|{\mathcal B}|:{\mathcal B}\subseteq I \wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal B})(A\subseteq B)\big\}.$

[edytuj] Własności i i zastosowania

Każdy właściwy ideał w algebrze Boole'a jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym. (To twierdzenie, udowodnione przez Tarskiego, wymaga pewnej formy AC.)
Jeśli $I$ jest ideałem podzbiorów $S$ który zawiera wszystkie zbiory jednopunktowe, to

${\rm add}(I)\leq {\rm cov}(I)\leq {\rm cof}(I)$ i ${\rm add}(I)\leq {\rm non}(I)\leq {\rm cof}(I)$ .

Wspólczynniki kardynalne ideałów ${\mathcal K}$ i ${\mathcal L}$ były intensywnie studiowane także i w Polsce w latach 80. XX wieku. Są one głównymi elementami tzw diagramu Cichonia.

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Teoria mnogości

Związkowcy sparaliżują dziś stolicę

Przed Sejmem i Kancelarią Premiera Rady Ministrów odbędzie się dziś kolejny protest "Solidarności" przeciwko rządowym zmianom w systemie emerytalnym. W akcji, którą koordynuje Region Śląsko-Dąbrowski, weźmie udział kilka tysięcy związkowców. Zapowiada się paraliż komunikacyjny stolicy.

Stasiak: USA nie zrezygnują z tarczy. To zbyt ważne

Władysław Stasiak jest przekonany, że polsko- amerykańska umowa o tarczy antyrakietowej będzie realizowana po objęciu urzędu prezydenta przez Baracka Obamę.

Przed komisją ds. nacisków może stanąć o. Rydzyk

Posłowie sejmowej komisji śledczej ds. nacisków nie wykluczają, że wezwą na przesłuchanie dyrektora Radia Maryja o. Tadeusza Rydzyka, informuje "Rzeczpospolita".

"Życie Warszawy": czy za dwa lata o stolicę powalczą same panie?

Politycy największych partii zaczynają zastanawiać się, kogo wystawią za dwa lata w wyborach na prezydenta stolicy - pisze "Życie Warszawy". Gazeta sugeruje, że może być to walka samych pań.

Tablice niepamięci o Żydach

Ani jeden Żyd nie znalazł się na tablicach upamiętniających mieszkańców Brzeska - ofiary obozów koncentracyjnych

Stypendium tylko państwowe?

Lubelski sąd uznał wczoraj, że studenci nie powinni otrzymywać stypendiów od samorządów. Po kieszeni mogą dostać studenci w całej Polsce

Zawieszenie Farfała za Czabańskiego?

Sypie się koalicja PiS-LPR-Samoobrona w mediach publicznych. PiS chce ukarać „przystawki” za zawieszenie dwóch swoich ludzi w publicznym radiu - Krzysztofa Czabańskiego i Jerzego Targalskiego.

Szpitale wbrew prezydentowi

Lech Kaczyński wczoraj zapowiedział, że zablokuje ustawę o komercjalizacji szpitali. Ale samorządów lokalnych weto nie zatrzyma - 50 szpitali już szykuje się do przekształcenia w spółki.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Ideał (teoria mnogości)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Intuicje

[edytuj] Definicje

[edytuj] Ideały w porządkach

[edytuj] Ideały w algebrach Boole'a

[edytuj] Ideały podzbiorów danego zbioru

[edytuj] Ideały maksymalne

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Ideały w algebrach Boole'a

[edytuj] Ideały podzbiorów danego zbioru

[edytuj] Dodatkowe pojęcia

[edytuj] Własności i i zastosowania

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach