Iloczyn skalarny

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy iloczynu skalarnego przestrzeni euklidesowych. Zobacz też: iloczyn skalarny określany w abstrakcyjnych przestrzeniach liniowych.

Iloczyn skalarny – operator na przestrzeni liniowej przypisujący dwóm argumentom z tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną. Jest to standardowy iloczyn skalarny określany na ortonormalnych przestrzeniach euklidesowych. Zwykle nazywa się go właśnie standardowym, bądź euklidesowym; niżej określenia te będą pomijane.

Spis treści

1 Definicja i przykłady
2 Interpretacja geometryczna
3 Fizyka
4 Własności
5 Reprezentacja macierzowa
- 5.1 Przykład
6 Uogólnienia
7 Dowód interpretacji geometrycznej
8 Zobacz też
9 Linki zewnętrzne

[edytuj] Definicja i przykłady

Iloczyn skalarny dwóch wektorów (z rozważanej przestrzeni euklidesowej) $\mathbf a = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ oraz $\mathbf b = (b_1, b_2, \dots, b_n)$ wynosi z definicji

$\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_{i=1}^n~a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$ .

Przykładowo iloczyn skalarny dwóch trójwymiarowych wektorów $(1,3, - 5)$ oraz $(4, - 2, - 1)$ jest równy

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -2 & -1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) + (-5) \cdot (-1) = 3$ .

Korzystając z mnożenia macierzy i traktując wektory (kolumnowe) jako macierze wymiaru $n \times 1$ , iloczyn skalarny można także zapisać jako

$\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a^T \mathbf b$ ,

gdzie $\mathbf a^T$ oznacza transpozycję macierzy $\mathbf a$ .

W powyższym przykładzie uzyskamy wówczas mnożenie $1 \times 3$ -macierzy (np. wektora) przez $3 \times 1$ -wektor (który ze względu na naturę mnożenia macierzy da w wyniku $1 \times 1$ -macierz, np. skalar):

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix}$ .

[edytuj] Interpretacja geometryczna

|a|•cos(θ) jest rzutem skalarnym a na b

W przestrzeni euklidesowej istnieje silna zależność między iloczynem skalarnym a długością i kątem. Dla wektora $\mathbf a$ , $\mathbf a \cdot \mathbf a$ jest kwadratem jego długości, a ogólniej, jeśli $\mathbf b$ jest innym wektorem, to

$\mathbf a \cdot \mathbf b = |\mathbf a| \, |\mathbf b| \cos \theta$ ,

gdzie

$|\mathbf a|, |\mathbf b|$ oznaczają długość (wartość) $\mathbf a$ oraz $\mathbf b$ ,

θ

jest kątem między nimi.

Ponieważ $|\mathbf a| \cos \theta$ jest rzutem skalarnym $\mathbf a$ na $\mathbf b$ , iloczyn skalarny może być rozumiany geometrycznie jako iloczyn tego rzutu przez długość $\mathbf b$ .

Ponieważ cosinus $90^\circ$ wynosi zero, to iloczyn skalarny dwóch prostopadłych wektorów jest zawsze równy zeru. Jeżeli $\mathbf a$ oraz $\mathbf b$ mają długość jeden (są wersorami), to iloczyn skalarny daje w wyniku po prostu kosinus kąta między nimi. Dlatego dla danych dwóch wektorów, kąt między nimi może być wyznaczony przez przekształcenie powyższego wzoru:

$\theta = \arccos \left(\tfrac{\mathbf a \cdot \mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|}\right)$ .

Czasem własności te służą jako definicja iloczynu skalarnego, szczególnie w dwóch lub trzech wymiarach. Oczywiście definicja ta jest równoważna powyższej. Dla wyższych wymiarów wzór ten może być użyty do zdefiniowania pojęcia kąta.

Własności geometryczne uzależnione są od bazy wektorów prostopadłych o jednostkowej długości. Można przyjąć takiej bazy lub użyć dowolnej bazy i zdefiniować długość oraz kąt (włączając w to prostopadłość) jak wyżej.

Jak pokazuje interpretacja geometryczna, iloczyn skalarny jest niezmienniczy ze względu na izometryczne zmiany bazy: obroty, odbicia oraz kombinacje przy zachowaniu początku.

Innymi słowy i ogólniej dla dowolnego $n$ iloczyn skalarny jest niezmienniczy ze względu na zmianę współrzędnych obrazowaną macierzą ortogonalną. Odpowiada to następującym dwóm warunkom:

nowa baza jest także ortonormalna (tzn. jest ortonormalna w stosunku do poprzedniej),
nowe wektory bazy mają taką samą długość jak stare (tzn. jednostkowe, jeżeli są wyrażone wektorami starej bazy)

[edytuj] Fizyka

W fizyce iloczyn skalarny jest w powszechnym użyciu, co wynika bezpośrednio z faktu, że zarówno w fizyce klasycznej jak i kwantowej podstawę matematyczną badań stanowią przestrzenie liniowe z określonym na niej iloczynem skalarnym, przykładami mogą być:

trójwymiarowa przestrzeń euklidesowa $\mathbb R^3$ ,
przestrzeń Hilberta w mechanice kwantowej.

W zależności od dziedziny fizyki oraz kontekstu korzysta się z różnych sposobów zapisu iloczynu skalarnego

$\vec a \cdot \vec b$ , gdzie $\vec a, \vec b$ są wektorami $\mathbb R^3$ ;
$\mathbf a \cdot \mathbf b$ , gdzie $\mathbf a, \mathbf b$ są wektorami $\mathbb R^3$ .

Iloczyn skalarny (iloczyn wewnętrzny) bywa też oznaczany

$\langle x|y \rangle$ , gdzie $\langle x|, | y \rangle$ są wektorami w przestrzeni Hilberta (zob. notacja Diraca).

Przykładem wielkości fizycznej definiowanej za pomocą iloczynu skalarnego jest praca mechaniczna $W = \vec F \cdot \vec {\Delta r}$ , która jest iloczynem skalarnym siły i przemieszczenia.

[edytuj] Własności

Następujące własności są prawdziwe dla dowolnych wektorów $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$ oraz dowolnego skalara $r$ :

przemienność:

$\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf b \cdot \mathbf a$ ,
rozdzielność względem dodawania:

$\mathbf a \cdot (\mathbf b + \mathbf c) = \mathbf a \cdot \mathbf b + \mathbf a \cdot \mathbf c$ ,
dwuliniowość:

$\mathbf a \cdot (r\mathbf b + \mathbf c) = r(\mathbf a \cdot \mathbf b) + (\mathbf a \cdot \mathbf c)$ .

Przy mnożeniu przez wartość skalarną zachodzi następująca równość:

$(c_1\mathbf a) \cdot (c_2\mathbf b) = (c_1c_2) (\mathbf a \cdot \mathbf b)$ .

Ostatnie dwie własności wynikają z dwóch pierwszych.

Dwa niezerowe wektory $\mathbf a$ oraz $\mathbf b$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy $\mathbf a \cdot \mathbf b = 0$ .

Jeżeli $\mathbf b$ jest wektorem jednostkowym, to iloczyn skalarny określa wartość rzutu $\mathbf a$ w kierunku $\mathbf b$ , ze znakiem ujemnym, jeżeli kierunek jest przeciwny. Często przydatne jest rozkładanie wektorów w celu ich wygodnego dodawania, np. obliczania siły wypadkowej w mechanice.

W przeciwieństwie do mnożenia liczb, gdzie jeżeli $ab = ac \,$ , to o ile $a \ne 0$ to $b = c \,$ , dla iloczynu skalarnego nie zachodzi prawo skracania. Jeżeli $\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf c$ , to korzystając z prawa rozdzielności możemy zapisać równoważną równość $\mathbf a \cdot (\mathbf b - \mathbf c) = 0$ . Jest ona spełniona, gdy czynniki są ortogonalne, czyli zachodzi dowolna kombinacja warunków:

pierwszy wektor jest zerowy: $\mathbf a = \mathbf 0$ , lub
drugi wektor jest zerowy: $\mathbf b - \mathbf c = \mathbf 0$ , czyli $\mathbf b = \mathbf c$ , lub
wektory są prostopadłe: $\mathbf a \perp (\mathbf b - \mathbf c)$ .

Spełnienie trzeciego warunku prowadzi więc do spełnienia równości $\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a \cdot \mathbf c$ , nawet gdy $\mathbf a \ne \mathbf 0$ i $\mathbf b \ne \mathbf c$ .

[edytuj] Reprezentacja macierzowa

Iloczyn wewnętrzny może być przedstawiony w formie macierzy. Niech dane będą dwa wektory

$\mathbf a = \begin{pmatrix} \mathbf a_u \\ \mathbf a_v \\ \mathbf a_w \end{pmatrix}, \qquad \mathbf b = \begin{pmatrix} \mathbf b_u \\ \mathbf b_v \\ \mathbf b_w \end{pmatrix}$

wyrażone w bazie $S$ ,

$\mathbf S = \{\mathbf u, \mathbf v ,\mathbf w \} = \left\{ \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} \right\}$ .

wówczas każdy iloczyn wewnętrzny może być przedstawiony następująco:

$\langle \mathbf a , \mathbf b \rangle = \mathbf a^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf b$ ,

gdzie $\mathbf M$ jest reprezentacją $3 \times 3$ -macierzową iloczynu wewnętrznego. Dla danej macierzy iloczynu wewnętrznego w bazie $\mathbf S$ oznaczanej $\mathbf{C_S}$ , macierz $\mathbf M$ może być obliczona przez rozwiązanie następującego układu równań:

$\mathrm{C_S} = \begin{pmatrix} \langle \mathbf u, \mathbf u \rangle & \langle \mathbf u, \mathbf v \rangle & \langle \mathbf u, \mathbf w \rangle \\ \langle \mathbf v, \mathbf u \rangle & \langle \mathbf v, \mathbf v \rangle & \langle \mathbf v, \mathbf w \rangle \\ \langle \mathbf w, \mathbf u \rangle & \langle \mathbf w, \mathbf v \rangle & \langle \mathbf w, \mathbf w \rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf u^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf u & \mathbf u^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf v & \mathbf u^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf w \\ \mathbf v^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf u & \mathbf v^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf v & \mathbf v^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf w \\ \mathbf w^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf u & \mathbf w^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf v & \mathbf w^T \cdot \mathbf M \cdot \mathbf w \end{pmatrix}$

[edytuj] Przykład

Dany jest zbiór bazowy

$\mathbf S = \{ \mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$

oraz macierz iloczynu wewnętrznego wyrażonego w $\mathbf S$ ,

$\mathrm{C_S} = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 2 \\ 0 & 2 & 7 \end{pmatrix}$ .

Możemy przyrównać każdy element $C S$ do iloczynu skalarnego dwóch wektorów bazowych wg wzoru

$\mathrm{C_S}[i,j] = \langle \mathrm S[i],\mathrm S[j] \rangle$

$\mathrm{C_S}[0,0] = 5 = \langle \mathbf u, \mathbf u \rangle = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \mathbf M \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\mathrm{C_S}[0,1] = 2 = \langle \mathbf u,\mathbf v \rangle = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \mathbf M \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\cdots$ .

Tym sposobem otrzymujemy dziewięć równań i tyleż niewiadomych. Ich rozwiązanie daje $\mathbf M = \begin{pmatrix} 5 & -3 & -2 \\ -3 & 7 & -2 \\ -2 & -2 & 9 \end{pmatrix}$

[edytuj] Uogólnienia

Iloczyn skalarny uogólnia się na abstrakcyjne przestrzenie liniowe nazywane wtedy przestrzeniami unitarnymi, wówczas oznacza się go zwykle $\langle \mathbf a, \mathbf b \rangle$ . Ze względu na interpretację geometryczną iloczynu skalarnego norma $\|\mathbf a\|$ wektora $\mathbf a$ w takiej przestrzeni unitarnej zdefiniowana jest jako

$\|\mathbf a\| = \sqrt{\langle\mathbf a, \mathbf a\rangle}$

tak, że uogólnia długość oraz kąt $θ$ między dwoma wektorami $\mathbf a$ oraz $\mathbf b$ przez

$\cos \theta = \tfrac{\langle\mathbf a, \mathbf b\rangle}{\|\mathbf a\| \, \|\mathbf b\|}$ .

W szczególności dwa wektory uważa się za ortogonalne, jeżeli ich iloczyn skalarny wynosi zero,

$\mathbf a \cdot \mathbf b = 0$ .

Iloczyn wewnętrzny Frobeniusa określa iloczyn wewnętrzny na macierzach, jak gdyby były one wektorami dwuwymiarowymi, sumując iloczyny odpowiadających sobie elementów.

[edytuj] Dowód interpretacji geometrycznej

Uwaga: Ten dowód przeprowadzony jest dla wektorów trójwymiarowych, ale łatwo uogólnia się na wektory $n$ -wymiarowe.

Rozważmy wektor

$\mathbf v = v_1 \mathbf i + v_2 \mathbf j + v_3 \mathbf k.$ .

Kilkakrotne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa daje dla jego długości $v$ równość

$v^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2$ .

Jest to jednak to samo, co

$\mathbf v \cdot \mathbf v = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2$ ,

a więc wnosimy stąd, że wzięcie iloczynu wektora $\mathbf v$ przez samego siebie daje kwadrat jego długości.

Lemat 1: $\mathbf v \cdot \mathbf v = v^2$ .

Rozważmy teraz dwa wektory $\mathbf a$ oraz $\mathbf b$ zaczepione w początku układu, skierowane do siebie pod kątem $θ$ . Trzeci wektor $\mathbf c$ może być zdefiniowany jako

$\mathbf{c} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf a - \mathbf b$ ,

tworząc przy tym trójkąt o bokach $a, b, c$ . Zgodnie z twierdzeniem cosinusów mamy

c 2 = a 2 + b 2 - 2 a b cosθ

Podstawiając iloczyny skalarne za podniesione do kwadratu długości, zgodnie z lematem 1, otrzymujemy

$\mathbf c \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 ab \cos \theta$ (1)

Ponieważ $\mathbf c = \mathbf a - \mathbf b$ , mamy również

$\mathbf c \cdot \mathbf c = (\mathbf a - \mathbf b) \cdot (\mathbf a - \mathbf b)$ ,

co, zgodnie z prawem rozdzielności, rozszerza się do

$\mathbf c \cdot \mathbf c = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b -2(\mathbf a \cdot \mathbf b)$ (2)

Łącząc obydwa równania $\mathbf c \cdot \mathbf c$ , (1) oraz (2), dostajemy

$\mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b -2(\mathbf a \cdot \mathbf b) = \mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b - 2 ab \cos\theta$ .

Odjęcie $\mathbf a \cdot \mathbf a + \mathbf b \cdot \mathbf b$ od obu stron i podzielenie przez $- 2$ daje ostatecznie

$\mathbf a \cdot \mathbf b = ab \cos\theta$ .

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

Kategorie: Algebra liniowa • Działania dwuargumentowe

Polscy obserwatorzy rozwiążą gazowy kryzys?

Dwóch polskich ekspertów uda się na Ukrainę, by monitorować przepływ gazu między Rosją a Unią Europejską - ustalił portal Gazeta.pl. Misja obserwatorów jest jednym z warunków, jakie Rosja postawiła przed wznowieniem tranzytu gazu na Zachód.

Policja postrzeliła ściganego

Dzisiaj tuż przed godz. 17, łódzcy policjanci postrzelili mężczyznę ściganego listem gończym.

Przekażesz jedzenie potrzebującym? Zapłacisz niższy podatek

Koniec z wyrzucaniem niepotrzebnego jedzenia. Przedsiębiorcy nareszcie będą mogli przekazywać nadwyżki potrzebującym nie martwiąc się o podatek VAT. Zmiany idą nawet dalej. Firmy wspierające organizacje charytatywne zapłacą mniejszy podatek dochodowy.

Klich: Nowy model dowództwa wymaga zmiany w konstytucji

Proponowany nowy model dowodzenia i kierowania wojskiem, przewidujący m.in. nowe stanowisko szefa obrony, wymaga niewielkiej zmiany w konstytucji - powiedział minister obrony Bogdan Klich.

Tuż przed wylotem do Pragi prezydent spotkał się z Pawlakiem

Prezydent Lech Kaczyński spotkał się, tuż przed wylotem do czeskiej Pragi, z wicepremierem i ministrem gospodarki Waldemarem Pawlakiem w sprawie kryzysu gazowego.

Złożył pozew o ochronę dóbr osobistych przeciw Zbigniewowi Ziobrze

Pozew przeciwko byłemu ministrowi sprawiedliwości Zbigniewowi Ziobrze o ochronę dóbr osobistych złożył w krakowskim sądzie okręgowym poseł SLD w latach 1993-1997, Ryszard Zając.

Kiszczak będzie jednak sądzony za bezprawne zwolnienie milicjanta

Szef MSW z lat 80. gen. Czesław Kiszczak będzie jednak sądzony za bezprawne zwolnienie w 1985 r. ze służby milicjanta z Koszalina za posłanie córki do pierwszej komunii - orzekł w czwartek Sąd Apelacyjny w Warszawie.

RPO do MSZ: Interweniować w USA ws. ich władz imigracyjnych

Rzecznik Praw Obywatelskich uważa, że polskie władze muszą interweniować w USA, by tamtejsze władze imigracyjne zaprzestały praktyki "bezwzględnego traktowania obywateli polskich na granicach" - czyli zawracanie ich z lotnisk bez decyzji o deportacji i bez wiedzy konsula RP.

Kolejna rozprawa w procesie w "seksaferze" w Samoobronie

Były działacz Samoobrony z Tomaszowa Mazowieckiego Paweł G. to kolejny świadek, który zeznawał przed sądem w Piotrkowie Trybunalskim w procesie w tzw. seksaferze w Samoobronie.

Raport Pitery o CBA odłożony przez brak Pitery

- Sejmowa Komisja ds. Służb Specjalnych nie zajmie się w czwartek raportem Julii Pitery dotyczącym działalności CBA, punkt zostanie formalnie zdjęty z porządku obrad - poinformował w czwartek dziennikarzy przed posiedzeniem komisji jej szef Jarosław Zieliński (PiS).

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Iloczyn skalarny

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja i przykłady

[edytuj] Interpretacja geometryczna

[edytuj] Fizyka

[edytuj] Własności

[edytuj] Reprezentacja macierzowa

[edytuj] Przykład

[edytuj] Uogólnienia

[edytuj] Dowód interpretacji geometrycznej

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach