Interpolacja wielomianowa

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Interpolacja wielomianowa, nazywana też interpolacją Lagrange'a, od nazwiska pioniera badań nad interpolacją Josepha Lagrange'a, lub po prostu interpolacją jest metodą numeryczną przybliżania funkcji tzw. wielomianem Lagrange'a stopnia n, przyjmującym w n+1 punktach, zwanych węzłami interpolacji wartości takie same jak przybliżana funkcja.

Interpolacja jest często stosowana w naukach doświadczalnych, gdzie dysponuje się zazwyczaj skończoną liczbą danych do określenia zależności między wielkościami.

Zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa dowolną funkcję y=f(x) ciągłą na przedziale zamkniętym można dowolnie przybliżyć za pomocą wielomianu odpowiednio wysokiego stopnia.

Spis treści

1 Interpolacja liniowa
2 Ogólna metoda
- 2.1 Znajdowanie odpowiedniego wielomianu
3 Dowód istnienia wielomianu interpolującego
4 Jednoznaczność interpolacji wielomianowej
5 Błąd interpolacji
6 Zobacz też

[edytuj] Interpolacja liniowa

Interpolacja liniowa

Zobacz więcej w osobnym artykule: Interpolacja liniowa.

Jest przypadkiem interpolacji wielomianowej dla dwóch punktów pomiarowych $x 0$ i $x 1$ , dla których można utworzyć funkcję liniową, której wykres przechodzi przez punkty $(x 0, f (x 0))$ i $(x 1, f (x 1))$ .

[edytuj] Ogólna metoda

Przykład interpolacji wielomianowej.

Metoda interpolacji polega na:

wybraniu $n + 1$ punktów $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ należących do dziedziny $f$ , dla których znane są wartości $y_0=f(x_0),y_1=f(x_1),\cdots ,y_n=f(x_n)$

znalezieniu wielomianu $W (x)$ stopnia co najwyżej $n + 1$ takiego, że $W(x_0)=y_0,W(x_1)=y_1,\cdots W(x_n)=y_n$ .

Interpretacja geometryczna – dla danych $n + 1$ punktów na wykresie szuka się wielomianu stopnia co najwyżej $n$ , którego wykres przechodzi przez dane punkty

[edytuj] Znajdowanie odpowiedniego wielomianu

Wielomian przyjmujący zadane wartości w konkretnych punktach można zbudować w ten sposób:

Dla pierwszego węzła o wartości $f (x 0)$ znajduje się wielomian, który w tym punkcie przyjmuje wartość $f (x 0)$ , a w pozostałych węzłach $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ wartość zero.
Dla kolejnego węzła znajduje sie podobny wielomian, który w drugim węźle przyjmuje wartość $f (x 1)$ , a w pozostałych węzłach $x_0,x_2,\cdots ,x_n$ wartość zero.
Dodaje się wartość ostatnio obliczonego wielomianu do wartości poprzedniego
Dla każdego z pozostałych węzłów znajduje się podobny wielomian, za każdym razem dodając go do wielomianu wynikowego
Wielomian będący sumą wielomianów obliczonych dla poszczególnych węzłów jest wielomianem interpolującym

Dowód ostatniego punktu i dokładny sposób tworzenia poszczególnych wielomianów opisany jest poniżej w dowodzie istnienia wielomianu interpolującego będącego podstawą algorytmu odnajdowania tego wielomianu.

[edytuj] Dowód istnienia wielomianu interpolującego

Niech $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ będą węzłami interpolacji funkcji $\! f$ takimi, że znane są wartości $\! f(x_0)=y_0,f(x_1)=y_1,\cdots ,f(x_n)=y_n$

Można zdefiniować funkcję:

$L_i(x)=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}\ \ \ \ \$ , $i\in {0,1\cdots ,n}$

taką, że dla $x\notin \{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}$ $L i (x)$ jest wielomianem stopnia $n$ (mianownik jest liczbą, a licznik iloczynem $n$ wyrazów postaci $(x-x_{j\ })$ )

Gdy $x_k\in \{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}$ i $k = i$ :

$L_i(x_k)=L_i(x_i)=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n (\frac{x_i-x_j}{x_i-x_j})=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n (1) = 1$

Gdy $x_k\in \{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}$ i $k\not=i$ :

$L_i(x_k)=\prod_{j = 0 \and j\ne i}^n \frac{x_k-x_j}{x_i-x_j}\ =\frac{(x_k-x_0)\cdot (x_k-x_1)\cdot \cdots \cdot (x_k-x_{k })\cdot \cdots (x_k-x_n) }{(x_i-x_0)\cdot (x_i-x_1)\cdot \cdots \cdot (x_i-x_{i-1 })\cdot (x_i-x_{i+1 })\cdot \cdots (x_i-x_n) }\ =\ 0\ \$

(licznik = 0 ponieważ występuje element $(x k - x k)$ )

Niech $\! W(x)$ będzie wielomianem stopnia co najwyżej $n$ , określonym jako:

$\! W(x)=y_0\cdot L_0(x) + y_1\cdot L_1(x) + y_2\cdot L_2(x) + \cdots + y_n\cdot L_n(x)$

Dla $\! x_i \in \{x_0,x_1,\cdots ,x_n\}$

$W(x_i)= y_0\cdot L_0(x_i) + y_1\cdot L_1(x_i) + \cdots + y_i\cdot L_i(x_i) + \cdots + y_n\cdot L_n(x_i)$ .

Wszystkie składniki sumy o indeksach różnych od $i$ są równe zeru (ponieważ dla $j\not=i\ \ L_i(x_j)\ =\ 0)$ , składnik o indeksie $i$ jest równy:

$L_i(x_i)\cdot y_i\ =\ 1\cdot y_i\ =\ y_i$ .

A więc

$\! W(x_i)=y_i$

z czego wynika, że $\! W(x)$ jest wielomianem interpolującym funkcję $\! f(x)$ w punktach $x_0,x_1,\cdots ,x_n$ .

[edytuj] Jednoznaczność interpolacji wielomianowej

Dowód

Załóżmy, że istnieją dwa wielomiany $W 1 (x)$ i $W 2 (x)$ stopnia $n$ , przyjmujące w węzłach $\! x_0,x_1,\cdots ,x_n$ takie same wartości.

Niech

$\! W_3(x) = W_1(x) - W_2(x)$

będzie wielomianem. Jest on stopnia co najwyżej $n$ (co wynika z własności odejmowania wielomianów).

Ponieważ $W 1 (x)$ i $W 2 (x)$ w węzłach $x_i : i \in 0,1,\cdots ,n$ interpolują tę samą funkcję, to $W 1 (x i) = W 2 (x i)$ , a więc $W 3 (x i) = 0$ (węzły interpolacji są pierwiastkami $W 3 (x)$ ).(*)

Ale każdy niezerowy wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ pierwiastków rzeczywistych, a ponieważ z (*) wiadomo, że $\! W_3(x)$ ma $n + 1$ pierwiastków, to $W 3 (x)$ musi być wielomian tożsamościowo równy zeru. A ponieważ

$\! W_3(x)\ =\ W_1(x) - W_2(x)\ =\ 0$

$\! W_1(x)\ =\ W_2(x)$

co jest sprzeczne z założeniem, że $W 1 (x)$ i $W 2 (x)$ są różne.

[edytuj] Błąd interpolacji

Dość naturalne wydaje się przyjęcie, że zwiększenie liczby węzłów interpolacji (lub stopnia wielomianu interpolacyjnego) pociąga za sobą coraz lepsze przybliżenie funkcji f(x) wielomianem $L n (x)$ . Idealna byłaby zależność:

$\! \lim_{n \to \infty}L_n(x) = f(x)$ ,

tj. dla coraz większej liczby węzłów wielomian interpolacyjny staje się "coraz bardziej podobny" do interpolowanej funkcji.

Dla węzłów równo odległych tak być nie musi → efekt Rungego.

Można dowieść, że dla każdego wielomianu interpolacyjnego stopnia $n$ , przybliżającego funkcję $f (x)$ w przedziale $[a, b]$ na podstawie $n + 1$ węzłów, istnieje taka liczba $\! \xi$ zależna od $x$ , że dla reszty interpolacji $\! r(x)$

$\! \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot p_n(x)\le r(x)$

gdzie $p_n(x)=(x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_n)$ , a $\xi \in [a;b]$ jest liczbą zależną od x.

Do oszacowania z góry wartości $r (x)$ można posłużyć się wielomianami Czebyszewa stopnia $n + 1$ do oszacowania wartości $p n (x)$ dla $x\in [-1,1]$ . Dla przedziału $[a, b]$ wystarczy dokonać przeskalowania wielomianu $p n (x)$

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Algebra • Analiza matematyczna • Interpolacja

Sikorski: Czekamy na decyzję w sprawie tarczy

Minister spraw zagranicznych Radosław Sikorski zakończył w piątek wizytę w stolicy USA, celem której było wysondowanie poglądów polityków Partii Demokratycznej w sprawie tarczy antyrakietowej i w innych kwestiach dotyczących stosunków polsko-amerykańskich.

Po obfitych opadach śniegu tiry zablokowały drogę

Obfite opady śniegu spowodowały, że w piątek wieczorem na świętokrzyskich drogach panują trudne warunki. Tiry zablokowały trasę krajową 42 Namysłów-Rudnik w okolicy Wąchocka. Od popołudnia w wypadkach zginęło pięć osób - poinformowała policja.

Senyszyn: Sejm nie jest wolny od picia, dziś trafiło na Kruk

- Ze statystyki wynika, że 83 posłów nadużywa alkoholu, a 14 to alkoholicy. W rzeczywistości liczby te mogą być większe - pisze na swoim blogu posłanka Joanna Senyszyn. Podkreśla, że Sejm jako emanacja społeczeństwa, które reprezentuje, "nie jest wolny od plagi picia".

PO w ośrodku SPA podsumowuje rok pracy rządu

Z ponad dwugodzinnym opóźnieniem rozpoczęło się w piątek w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej dwudniowe wyjazdowe posiedzenie klubu parlamentarnego Platformy Obywatelskiej. Zjazd odbywa się w czterogwiazdkowym hotelu Ossa Congress and SPA z ofertą odnowy biologicznej. Klub podsumuje rok działania rządu i koalicji PO- PSL. Na posiedzenie przybył premier Donald Tusk i ministrowie.

Cenne mapy i listy Mickiewicza trafią do Polski

Kolekcjoner Tomasz Niewodniczański powiedział w piątek, że zamierza wkrótce przekazać polską część swoich zbiorów kartograficznych i archiwalnych Zamkowi Królewskiemu w Warszawie.

Ruszył proces prześladowcy młodej dentystki

Proces bezrobotnego Sebastiana W., który przez ponad rok miał nękać dwudziestokilkuletnią dentystkę, a także jej ojca i znajomego rozpoczął się dziś przed warszawskim sądem rejonowym. Oskarżony swe działania tłumaczył przed sądem "zakochaniem", nie przyznał się do przestępstw.

Zarzuty dla dwóch pracowników prezydenta Karnowskiego

Prokuratura postawiła zarzuty sekretarzowi miasta oraz kierowcy prezydenta Sopotu, Jacka Karnowskiego. Obaj mieli brać udział w ustawieniu przetargu na auto dla prezydenta.

Warszawa się wali: most z dziurą na wylot

Od piątku nie można jeździć przez mostek na Kanale Żerańskim w Kobiałce - oberwał się z niego kawałek jezdni. Pogotowie drogowe w ostatniej chwili zawróciło dwie betoniarki zmierzające nim na pobliską budowę. Zarząd Transportu Miejskiego musiał wycofać autobusy

Pogoda na weekend: będzie zimno i spadnie śnieg

Przed intensywnymi opadami śniegu oraz oblodzeniem na drogach ostrzega Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej (IMGW). Utrudnienia komunikacyjne mogą wystąpić już w piątek po południu.

28 osób oskarżonych o fałszowanie list poparcia przed wyborami

28 osób z Rybnika i okolic zostało oskarżonych o złamanie prawa przy zbieraniu i sporządzaniu list poparcia dla kandydatów na posłów w wyborach do Sejmu w 2005 roku.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Interpolacja wielomianowa

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Interpolacja liniowa

[edytuj] Ogólna metoda

[edytuj] Znajdowanie odpowiedniego wielomianu

[edytuj] Dowód istnienia wielomianu interpolującego

[edytuj] Jednoznaczność interpolacji wielomianowej

[edytuj] Błąd interpolacji

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach