Potęga

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Potęgowanie przy różnych podstawach. Kolorem zielonym oznaczono potęgowanie przy podstawie 10, kolorem czerwonym przy podstawie logarytmu naturalnego, a niebieskim przy podstawie 1,7.

Potęga, potęgowanie to operacja będąca uogólnieniem wielokrotnego mnożenia. Zapisywana jest jako $a^{n}\;$ co oznacza $n\;$ -krotne mnożenie $a\;$ przez siebie, przy czym $a\;$ nazywamy podstawą potęgi a $n\;$ wykładnikiem potęgi. Na przykład:

$3^{4}=3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=81\;$

Podstawą potęgi w tym przykładzie jest liczba 3, a wykładnikiem liczba 4. Zapis $a^n\;$ czytamy $a\;$ podniesione do potęgi $n\;$ lub krótko $a\;$ do potęgi $n\;$ .

Początkowo potęga zdefiniowana była tylko dla wykładników będących liczbami naturalnymi, stopniowo jednak rozszerzono definicję tak, by obejmowała także liczby ujemne, wymierne, rzeczywiste i zespolone.

Drugą potęgę nazywa się kwadratem, a trzecią sześcianem. Określenia te zwykle stosuje się do liczb, ale równie dobrze można mówić o sześcianie macierzy czy kwadracie (kartezjańskim) zbioru. Pochodzą one z geometrii, gdyż pole kwadratu o boku $a\;$ wynosi $a^2\;$ , a objętość sześcianu o boku $a\;$ wynosi $a^3\;$ .

[edytuj] Potęgowanie w analizie matematycznej

[edytuj] Liczby rzeczywiste

Zobacz w Wikiźródłach tablicę potęg

Elementarna definicja potęgowania liczb rzeczywistych składa się z kilku kroków:

$0^{0}\;$ albo nie jest określone albo przyjmuje się $0^{0}=1\;$ (czytaj niżej);
jeśli $y\;$ jest równe zeru, a $x\;$ jest niezerowe, to $x^y=1\;$ bez jakichkolwiek kontrowersji;
jeśli $y\;$ jest inną liczbą naturalną, wynikiem jest $y\;$ -krotne pomnożenie $x\;$ przez siebie, np. $x^3=x\cdot x\cdot x$ ; tę zasadę można zapisać rekurencyjnie: $x^1=x,\ x^{n+1}=x^n\cdot x$ ;
jeśli $y\;$ jest ujemną liczbą całkowitą, $x^y=\frac{1}{x^{|y|}}$ ;
jeśli $x\;$ jest nieujemne a $y\;$ jest liczbą wymierną i $y = \frac{l}{m}$ , wtedy $x^y=\sqrt[m]{x^l}$ (potęga jest zdefiniowana przez pierwiastek arytmetyczny);
jeśli $x\;$ jest nieujemne a $y\;$ jest liczbą niewymierną, wtedy konstruujemy ciąg liczb wymiernych $y_1,y_2,\dots$ o granicy w $y\;$ i wtedy $x^y=\lim_{n\to\infty}x^{y_n}$ .

[edytuj] Alternatywne definicje

Równoważną definicję potęgowania liczb dodatnich można uzyskać:

Przez równanie funkcyjne: potęga $a^x\;$ to jedyna ciągła funkcja $f:\mathbb R \to \mathbb R$ , że $\forall a, b \in \mathbb R (f(a+b)=f(a)f(b))$ oraz $f(1)=a\;$ .
Definiując funkcje $\exp x\;$ i $\ln x\;$ a następnie potęgę korzystając ze związku $x y = e y ln x$ . Możliwości określenia tych funkcji jest wiele, np. za pomocą szeregu potęgowego $\exp x=\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}$ , całki oznaczonej $\ln x = \int_1^x \frac{dt}{t}$ lub też jednej funkcji jako funkcji odwrotnej do drugiej.

[edytuj] Liczby zespolone

Potęga w dziedzinie liczb zespolonych jest niejednoznaczna i miewa nieskończoną liczbę wartości.

Zachodzi:

$x^y = ({e^{\ln x}})^y = e^{y \ln x}\;$

W dziedzinie zespolonej $ln x$ jest funkcją wielowartościową a różnica pomiędzy jego wartościami to $k \cdot 2 \pi i$ , dla dowolnego całkowitego $k\;$ .

Jeśli $z\;$ będzie dowolnym wybranym logarytmem $x\;$ , to:

$x^y = e^{y (z + 2i\pi k)} = e^{yz} e^{y 2i\pi k}\;$

Zbiór wartości ciągu $2i \pi yk \mod 2i \pi$ , czyli $yk \mod 1$ będzie skończony i będzie miał $n\;$ elementów dla $y = c/n\;$ ( $c\;$ i $n\;$ względnie pierwsze). Tylko wtedy potęga w dziedzinie zespolonej ma skończoną liczbę wartości.

Dla $y\;$ całkowitego wygodnie jest korzystać ze wzoru de Moivre'a.

[edytuj] Kwaterniony

Potęgowanie dla kwaternionów można określić wzorem analogicznym dla liczb zespolonych:

$y^x=\exp(x \ln y).\;$

[edytuj] Własności

Podstawowe własności potęgowania:

$a^r \cdot{} a^s = a^{r+s}$
$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},\quad a\neq 0$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n},\quad a\neq 0$
$\left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}$
$\left(a\cdot b\right)^n = a^n\cdot{}b^n$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad b\neq 0$
$a^{({m \over n})} = \sqrt[n]{a^m},\quad n \ne 0$

Równości te są spełnione gdy podstawy i wykładniki są liczbami rzeczywistymi lub ogólniej zespolonymi. Należy tylko pamiętać o dziedzinie potęgowania, przypadku szczególnym $00$ i o wieloznaczności potęgowania w liczbach zespolonych. Nieuwzględnienie jej i branie pierwiastka arytmetycznego może doprowadzić do sprzeczności, np.

$((-1)^2)^{\frac{1}{2}}=1\ne -1=(-1)^{2\cdot \frac{1}{2}}.$

Podstawa	Wykładnik	Potęga
całkowita dodatnia	całkowity nieujemny	całkowita dodatnia
całkowita	całkowity nieujemny	całkowita
wymierna dodatnia	całkowity	wymierna dodatnia
niewymierna dodatnia	rzeczywisty	rzeczywista dodatnia^[1]
algebraiczna	wymierny	algebraiczna
algebraiczna różna od 0 i 1	zespolony, który nie jest liczbą wymierną	przestępna^[2]
przestępna	wymierny różny od 0	przestępna
rzeczywista dodatnia	rzeczywisty	rzeczywista dodatnia
rzeczywista ujemna	rzeczywisty	zespolona^[3]
zespolona	całkowity	zespolona (jednoznaczna)
zespolona	wymierny	zespolona (skończenie wiele wartości)
zespolona	zespolony nie będący liczbą wymierną	zespolona (nieskończenie wiele wartości)

Potęgowanie nie jest działaniem przemiennym; na przykład $2^{3} \neq 3^{2}\;$ . Nie jest także działaniem łącznym, np. $2^{(3^2)}=2^9=512\;$ , ale $(2^3)^2=8^2=64\;$ .

[edytuj] Funkcje zawierające potęgę

Zobacz więcej w osobnych artykułach: funkcja wykładnicza, funkcja potęgowa.

Funkcje $a^{x}\;$ oraz $x^{a}\;$ , gdzie $a\;$ jest stałą, są funkcjami elementarnymi. Mają ważne znaczenie w matematyce i innych dziedzinach nauki. Funkcją odwrotną do wykładniczej jest funkcja logarytmiczna, a do potęgowej jest funkcja potęgowa (w przypadku, gdy $a\;$ , jest całkowite zwana także funkcją pierwiastkową) o odwrotnym wykładniku. Istnienie dwóch funkcji zawierających potęgę jako argument i dwóch funkcji odwrotnych wynika z nieprzemienności potęgowania. Dla liczb zespolonych logarytm i pierwiastek algebraiczny są działaniami wieloznacznymi.

Rozwiązaniem równania $x^x=a\;$ jest $x=\frac{\ln a}{W(\ln a)}\;$ gdzie $W\;$ jest funkcją W Lamberta.

[edytuj] Potęgowanie w algebrze

Potęgowanie definuje się nie tylko dla liczb, ale i dla elementów abstrakcyjnych struktur algebraicznych.

Jeżeli dane jest działanie $a \cdot b\;$ , które jest łączne to potęgę $a^{n}\;$ gdy $n\;$ jest naturalne definiuje się jako iloczyn $a \cdot a \cdot \dots \cdot a$ . Jest to po prostu wielokrotne mnożenie.

Jeżeli działanie $a \cdot b\;$ jest odwracalne wówczas można zdefiniować potęgowanie dla wykładników całkowitych:

$a^{0}\;$ jest równe 1
$a^{-n}=b^{n}\;$ , gdzie $b\;$ jest odwrotnością $a\;$ .

Wynika stąd, że $0^{0}=1\;$ w dowolnej strukturze algebraicznej. Jednak przy definicji analitycznej przypadek ten traktowany jest inaczej.

Zwykle tę definicję stosuje się dla grup - czytaj więcej.

Tak określone potęgowanie ma następujące własności:

$a^r \cdot{} a^s = a^{r+s}\;$
$\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s},\quad a\neq 0\;$
$a^{-n} = \frac{1}{a^n},\quad a\neq 0\;$
$\left(a^r\right)^s = a^{r\cdot s}\;$

Jeżeli działanie $\cdot$ jest przemienne to zachodzi także:

$\left(a\cdot b\right)^n = a^n\cdot{}b^n\;$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n},\quad b\neq 0\;$

Związki te można udowodnić za pomocą indukcji matematycznej.

W ten sposób można określić np. działanie potęgowania dla macierzy lub zbiorów (czytaj niżej).

[edytuj] Potęga 0⁰

Zdefiniowanie potęgi $0^0\;$ sprawia problemy. Z jednej strony można by ją przedstawić jako $a^0\;$ i przyjąć wartość 1, jak dla niezerowych $a\;$ . Z drugiej strony natomiast $0^x=0\;$ dla dodatnich $x\;$ , więc można by zastosować także tę regułę do zera otrzymując tym razem zero.

Istnieje jednak więcej argumentów za przyjęciem wartości $0^0=1\;$ i ta wersja została przyjęta w matematyce:

Jeżeli $0^0\;$ traktujemy jako iloczyn zawierający 0 czynników, to jego wartością jest 1. Wartość iloczynu nie może zależeć od czynników, których nie ma.
Liczba $n^m\;$ jest liczbą odwzorowań zbioru $m\;$ -elementowego w zbiór $n\;$ -elementowy. Jeżeli $n=0, m>0\;$ wówczas nie ma takich funkcji, gdyż nie można przyporządkować argumentom wartości ze zbioru pustego. Natomiast dla $n=m=0\;$ istnieje jedno takie odwzorowanie - funkcja pusta.
Wielomiany w algebrze zapisuje się jako

$a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_{1} x^{1}+a_{0}\;$

albo

$a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_{1} x^{1}+a_{0} x^{0}\;$ .

Dla $x=0\;$ wartość wielomianu jest oczywiście równa $a_0\;$ , wychodząc z pierwszej metody podania wielomianu. Aby tak było i przy drugiej metodzie, musi być $0^0=1\;$ .

Wzory takie jak dwumian Newtona: $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}x^ky^{n-k}$ są możliwe do użycia dla $n=0\;$ , gdy $0^0=1\;$ .
W matematyce spotyka się dzielniki zera - obiekty takie, że $a,b\not=0\;$ , ale $ab=0\;$ . Z własności potęgowania otrzymamy wtedy $1=a^0b^0=(ab)^0=0^0.\;$ .

Często w analizie matematycznej tradycyjnie przyjmuje się, że $0^0\;$ jest symbolem nieoznaczonym. Natomiast w algebrze abstrakcyjnej $0^0\;$ jest zawsze równe 1.

Więcej na ten temat w zewnętrznym artykule.

[edytuj] Potęgowanie zbiorów i liczb kardynalnych

Zapis $A^n\;$ , gdzie $A\;$ jest zbiorem a $n\;$ liczbą naturalną oznacza $n\;$ -krotny iloczyn kartezjański zbioru $A\;$ .

Zapis $A^B\;$ , gdzie $A\;$ i $B\;$ są zbiorami oznacza zbiór wszystkich funkcji $f\;$ o dziedzinie $B\;$ i przeciwdziedzinie $A\;$ . Zastępując zbiory ich mocami otrzymujemy definicje potęgowania liczb kardynalnych - zobacz arytmetyka liczb kardynalnych.

[edytuj] Potęgowanie macierzy

Zobacz więcej w osobnym artykule: Potęgowanie macierzy.

Potęgę można łatwo zdefiniować dla macierzy kwadratowych, po prostu przez wielokrotne mnożenie i odwracanie dla wykładników ujemnych.

Dla macierzy kwadratowych można utworzyć funkcję $\exp A\;$ .

$\exp A = \sum_{k=0}^\infty{A^k \over k!}.\;$

Szereg ten jest zawsze zbieżny. Obliczanie funkcji wykładniczej macierzy ma zastosowanie przy rozwiązywaniu równań różniczkowych liniowych.

[edytuj] Macierze diagonalne

Dla macierzy diagonalnych wystarczy obliczyć osobno wartość $\exp x\;$ dla przekątnej: jeżeli

$A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix},$

$e^A=\begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & e^{a_2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & e^{a_n} \end{bmatrix}.$

(Macierze 1x1 też podlegają tej regule.)

Jeżeli $a=UDU^{-1}\;$ i $D\;$ jest diagonalna, to:

$e^a=Ue^D U^{-1}\;$

[edytuj] Macierze nilpotentne

Macierz $n\;$ jest nilpotentna gdy $n^q=0\;$ dla pewnej liczby $q\;$ . Wówczas $e^n\;$ można obliczyć bezpośrednio z rozwinięcia na szereg potęgowy, gdyż zawiera on tylko skończenie wiele wyrazów:

$e^N = I + N + \frac{1}{2}N^2 + \frac{1}{6}N^3 + \cdots + \frac{1}{(q-1)!}N^{q-1}.$

(dalsze są równe macierzy zerowej)

[edytuj] Konwencje notacyjne

[edytuj] Zapis potęgowania przy braku możliwości użycia indeksu górnego

Normalnie potęgowanie zapisywane jest w ten sposób, że wykładnik potęgi umieszczony jest w indeksie górnym: $x^y\;$ . Gdy jednak ze względów technicznych nie można użyć indeksu górnego stosowane są zapisy $x\hat{\ }y\;$ , $x**y\;$ lub $x\uparrow y\;$ . Pamiętać należy w takim wypadku, że potęgowanie obliczane jest od prawej strony: $x\hat{\ }y\hat{\ }z=x\hat{\ }(y\hat{\ }z).\;$

W przypadku gdy podstawą potęgi jest liczba $e\;$ (podstawa logarytmu naturalnego) stosowany może być zapis $\exp x \equiv e^{x}\;$ .

[edytuj] Potęgowanie funkcji

Zapis w górnym indeksie przy funkcji może oznaczać potęgowanie wartości funkcji:

$f^n(x)=(f(x))^n.\;$

Często jednak, jeżeli przeciwdziedzina funkcji zawiera się w jej dziedzinie zapis $f^{n}(x)\;$ oznacza $n\;$ -krotne złożenie funkcji z samą sobą ( $n\;$ -tą iterację funkcji). Na przykład:

$f^3=f(f(f(x)))\;$

W szczególności, $f^{-1}\;$ oznacza funkcję odwrotną do funkcji $f\;$ .

W przypadku funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych przyjęła się konwencja według której $\sin^n x\;$ oznacza $(\sin x)^n\;$ dla $n>0\;$ oraz $\sin^{-1} x=\arcsin x\;$

Podobna umowa obowiązuje w przypadku logarytmu: $\log^3(x) = (\log x)^3\;$ .

Pamiętać należy, że zapis $f^{(n)}(x)\;$ oznacza $n\;$ -tą pochodną funkcji.

[edytuj] Wielokrotne potęgowanie

Zobacz więcej w osobnym artykule: Notacja strzałkowa.

Czasem rozważa się wielokrotne potęgowanie, oznaczanie dwiema strzałkami:

$a \uparrow\uparrow 2 = a^{a}\;$
$a \uparrow\uparrow 3 = a^{a^{a}}\;$
$a \uparrow\uparrow 4 = a^{a^{a^{a}}}\;$

itd. Ogólnie:

$a\uparrow \uparrow(n+1) = a^{\left(a\uparrow \uparrow n\right)}\;$

Używając związku $n\uparrow\uparrow k = \log_n \left(n\uparrow\uparrow (k+1)\right)\;$ (który wynika z definicji działania), można zdefiniować $n\uparrow\uparrow k\;$ gdy $k \in \{-1, 0, 1\}\;$ .

$\begin{matrix} n\uparrow\uparrow 1 & = & \log_n \left(n\uparrow\uparrow 2\right) & = & \log_{n} \left(n^n\right) & = & n \log_{n} n & = & n \\ n\uparrow\uparrow 0 & = & \log_{n} \left(n\uparrow\uparrow 1\right) & = & \log_{n} n & & & = & 1 \\ n\uparrow\uparrow -1 & = & \log_{n} \left(n\uparrow\uparrow 0\right) & = & \log_{n} 1 & & & = & 0 \end{matrix}$

Potwierdza to intuicyjne rozumienie $n\uparrow\uparrow 1$ jako $n\;$ . Jednak dalszych wartości obliczyć nie możemy, gdyż nie jest określony $\log_n 0\;$ .

Skoro nieokreślony jest także $log 11$ ( $\log_{1} 1 = \ln 1{/}\ln 1 = 0/0\;$ ), powyższe wyprowadzenie nie skutkuje dla $n = 1\;$ . Zatem $1\uparrow\uparrow{-1}\;$ jest symbolem nieoznaczonym. (Natomiast $1\uparrow\uparrow{0}\;$ można przyjąć za równe 1)

Powtarzanie procesu wielokrotnego potęgowania z kolei prowadzi do funkcji Ackermanna.

[edytuj] Zastosowania

Potęgi liczby 2 są często spotykane w informatyce. Na przykład $2^{x}\;$ jest maksymalną możliwą liczbą stanów zmiennej składającej się z $x\;$ bitów. Często używa się przedrostków używanych normalnie dla liczby 10 (np. kilobajt to 1024 nie 1000 bajtów). Próby wprowadzenia przedrostków dwójkowych nie zostały przyjęte na szerszą skalę.

Potęgi liczby $e\;$ to wartości funkcji $\exp x\;$ szeroko używanej w analizie matematycznej czy rachunku prawdopodobieństwa.

Potęgi liczby 10 są stosowane w notacji naukowej do zapisywania wielkich liczb i wielkości fizycznych. Są stosowane np. w przedrostkach układu SI.

Potęgowanie modulo jest używane w kryptografii, np. w algorytmie RSA.

[edytuj] Programowanie

Oto pseudokod algorytmu obliczającego potęgę $x^n\;$ , gdzie $n\;$ jest liczbą całkowitą:

 POTEGA

Ten algorytm używa rekursji ogonowej i może zostać zamieniony na iterację. Jego złożoność obliczeniowa wynosi $\operatorname{O}(n)\;$ .

Istnieje znacznie szybszy algorytm potęgowania używający systemu binarnego. Jego złożoność wynosi $\operatorname{O}(\log n)\;$ .

Oznaczenie potęgowania w niektórych językach programowania:

x ↑ y: Algol, Commodore BASIC
x ^ y: BASIC, J, Matlab, Microsoft Excel, TeX (i większość jego rozszerzeń), większość systemów Computer Algebra System
x ** y: Ada, Fortran, FoxPro, Perl, Python, Ruby, SAS
x * y: APL
Power(x, y): Microsoft Excel, Pascal
pow(x, y): C, C++, PHP
Math.pow(x, y): Java, JavaScript, Modula-3
Math.Pow(x, y): C#
(expt x y): Common Lisp, Scheme

Przypisy

↑ Może się okazać, że liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej daje wynik wymierny. Dowód:
Niech .
- Jeśli A jest wymierne, to A jest szukaną liczbą.
- Jeśli A jest niewymierne, to $B=A^\sqrt{2}=\sqrt{2}^2=2$ jest wymierne i jest szukaną liczbą.
↑ twierdzenie Gelfonda-Schneidera
↑ Potęga ujemnej liczby rzeczywistej wymaga osobnego potraktowania. Potęgę $a^n\;$ w ogólnym przypadku należy traktować jako $e^{n \ln a}\;$ . Jednak gdy wykładnik jest wymierny i jego mianownik jest nieparzysty można napisać $a^{k/(2n+1)}=\sqrt[2n+1]{a^k}$ , gdzie pierwiastek jest pierwiastkiem arytmetycznym. Obejmuje to także wykładniki całkowite. W przeciwnym wypadku potęga nie jest liczbą rzeczywistą. Dla wykładników postaci $1 / (2 n)$ można przyjąć:

$a^{\frac{1}{2n}}=\pm i \sqrt[2n]{-a}$

Zauważmy, że ta potęga ma dwie wartości (tworzą one wraz z pozostałymi pierwiastek algebraiczny).

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Kategorie: Działania dwuargumentowe • Analiza matematyczna

Posłowie za rozszerzeniem uprawnień sejmowej "speckomisji"

Za umożliwieniem sejmowej "speckomisji" dostępu do dokumentów i materiałów uzyskanych przez służby specjalne opowiedzieli się podczas debaty w Sejmie nad projektem zmian w regulaminie izby, posłowie ze wszystkich klubów parlamentarnych.

Kolejny sklep internetowy oszukał klientów?

Warszawska policja wyjaśnia sprawę sklepu internetowego, który oferował telewizory tańsze o kilkadziesiąt procent niż u innych sprzedawców - poinformowała Anna Oleksiak ze stołecznej policji. Klienci, którzy wpłacili pieniądze nie mogli się dodzwonić do sklepu.

Sikorski: Polska jest gotowa odegrać rolę w rozwiązaniu gazowego kryzysu

Radosław Sikorski powiedział, że Polska jest gotowa wysłać obserwatorów, którzy monitorowaliby tranzyt gazu przez Ukrainę do Europy Zachodniej. Władimir Putin zadeklarował wcześniej, że Moskwa wznowi dostawę gazu przez Ukrainę, jeśli tranzyt nadzorować będą unijni obserwatorzy.

Rocco Buttiglione doradcą w Muzeum Jana Pawła II w świątyni Opatrzności Bożej

Rocco Buttiglione, były włoski minister ds. europejskich będzie doradcą w sprawie Muzeum Jana Pawła II i kard. Stefana Wyszyńskiego, które ma powstać przy Świątyni Opatrzności Bożej w Warszawie. Buttiglione zasłynął kontrowersyjnymi wypowiedziami na temat homoseksualizmu, które wywołały burzę we włoskim rządzie i w Parlamencie Europejskim.

Skąd teraz płynie gaz do Polski

Białoruś i Niemcy to w tej chwili jedyne dwa kierunki, z których do Polski płynie gaz. Rura z Ukrainy od dzisiaj jest pusta.

Dwóch mężczyzn zamarzło w Krakowie

- Dwóch mężczyzn zmarło w Krakowie z powodu wyziębienia. To kolejne śmiertelne ofiary mrozów w Małopolsce. Na początku stycznia zmarł w szpitalu z powodu wyziębienia bezdomny.

Koniec azylu dla ofiar handlarzy ludźmi?

Jedyne w Polsce schronisko dla ofiar handlarzy ludzkim towarem prowadzone przez fundację La Strada może zostać zamknięte. Państwowe instytucje nie są zainteresowane jego finansowaniem.

Olszowiec złożył wniosek o zwolnienie ze służby

Szef ochrony prezydenta ppłk Krzysztof Olszowiec, zawieszony w związku z incydentem w Gruzji, złożył wniosek o zwolnienie ze służby - potwierdził rzecznik BOR Dariusz Aleksandrowicz. O tym, że Olszowiec chce odejść ze służby, napisała środowa "Gazeta Wyborcza".

Pawlak uspokajał prezydenta ws. dostaw gazu

Wicepremier Waldemar Pawlak zapewnił głowę państwa, że rosyjsko-ukraiński konflikt gazowy nie jest zagrożeniem dla sytuacji w kraju. Według Kancelarii Prezydenta, politycy są zgodni, że należy szukać możliwości dostarczania do Polski ropy i gazu drogami niekontrolowanymi przez Rosję.

Przez kilka miesięcy do dyspozycji VIP-ów będzie tylko jeden Tu-154

Przez kilka najbliższych miesięcy do dyspozycji najwyższych osób w państwie będzie tylko jeden samolot specjalny Tu-154, drugi przejdzie w tym czasie remont.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Potęga

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Potęgowanie w analizie matematycznej

[edytuj] Liczby rzeczywiste

[edytuj] Alternatywne definicje

[edytuj] Liczby zespolone

[edytuj] Kwaterniony

[edytuj] Własności

[edytuj] Funkcje zawierające potęgę

[edytuj] Potęgowanie w algebrze

[edytuj] Potęga 0⁰

[edytuj] Potęgowanie zbiorów i liczb kardynalnych

[edytuj] Potęgowanie macierzy

[edytuj] Macierze diagonalne

[edytuj] Macierze nilpotentne

[edytuj] Konwencje notacyjne

[edytuj] Zapis potęgowania przy braku możliwości użycia indeksu górnego

[edytuj] Potęgowanie funkcji

[edytuj] Wielokrotne potęgowanie

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Programowanie

Przypisy

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach

Potęga

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Potęgowanie w analizie matematycznej

[edytuj] Liczby rzeczywiste

[edytuj] Alternatywne definicje

[edytuj] Liczby zespolone

[edytuj] Kwaterniony

[edytuj] Własności

[edytuj] Funkcje zawierające potęgę

[edytuj] Potęgowanie w algebrze

[edytuj] Potęga 00

[edytuj] Potęgowanie zbiorów i liczb kardynalnych

[edytuj] Potęgowanie macierzy

[edytuj] Macierze diagonalne

[edytuj] Macierze nilpotentne

[edytuj] Konwencje notacyjne

[edytuj] Zapis potęgowania przy braku możliwości użycia indeksu górnego

[edytuj] Potęgowanie funkcji

[edytuj] Wielokrotne potęgowanie

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Programowanie

Przypisy

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach

[edytuj] Potęga 0⁰