Kwadrat magiczny (matematyka)

Z Wikipedii

Kwadrat magiczny to tablica liczb składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n² różnych liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym.

Z matematycznego punktu widzenia to macierz kwadratowa, w której suma liczb w kolumnach, wierszach i obu przekątnych jest taka sama.

Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele.

Najpopularniejsze są kwadraty zbudowane z kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: 1, 2, ... n². Suma magiczna takiego kwadratu wynosi n·(n²+1)/2.

Niektóre własności kwadratów magicznych (n, jak wyżej, oznacza liczbę kolumn i wierszy kwadratu):

• Jeśli do każdej liczby w kwadracie dodamy tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma magiczna wzrośnie o n·k.
• Jeśli każdą liczbę w kwadracie pomnożymy przez tę samą wartość k, to kwadrat pozostanie magicznym, a jego suma wzrośnie k-krotnie.
• Jeśli weźmiemy dwa kwadraty magiczne o tym samym rozmiarze i sumach magicznych S₁ i S₂, i dodamy liczby na odpowiadających sobie pozycjach, to otrzymany w wyniku tego dodawania nowy kwadrat też będzie magiczny, a jego suma magiczna wyniesie S₁+S₂ (jednak nie ma gwarancji, że w tym nowym kwadracie wszystkie liczby będą różne).

Sumę magiczną kwadratu można szybko wyznaczyć, bez potrzeby sumowania liczb w kolumnach, wierszach bądź przekątnych, za pomocą wzoru:

gdzie: Z - pierwsza liczba kwadratu magicznego (w lewym górnym rogu), Y - ostatnia liczba kwadratu (w prawym dolnym rogu), X - liczba wierszy i kolumn kwadratu. Oczywiście wzór ten możemy użyć nie tylko do liczb znajdujących się na tych rogach. Wystarczy ze najpierw znajdziemy środek macierzy (może on być liczbą lub + w przypadku boku parzystego). Następnie wybieramy sobie jedną liczbę z macierzy a nasz środek posłuży nam za środek symetrii tzn. naszą drugą liczbą będzie liczba oddalona o taką samą odległość od środka jak pierwsza, lecz po przeciwnej stronie.

Kwadraty magiczne znali już starożytni Chińczycy i Hindusi, wierzyli w ich magiczną moc i dlatego umieszczali je na amuletach i talizmanach. Chiński filozof i budowniczy Lo Shu stworzył ok. 2800 roku p.n.e. tzw. kwadrat idealny, tworząc na jego podstawie podwaliny sztuki Feng Shui. Chińscy architekci doradzali stosować magiczny kwadrat podczas projektowania domów, pałaców i miast. Najbardziej znaną budowlą, gdzie podczas projektowania ściśle zastosowano zasadę idealnego kwadratu jest Cesarski Pałac w Pekinie. Najsłynniejszym kwadratem magicznym jest jednak ten, który umieścił Albrecht Dürer na swoim słynnym miedziorycie Melancholia I. Zapewne nieprzypadkowo w dwu wewnętrznych kratkach ostatniego wiersza tego kwadratu stoją obok siebie liczby 15 i 14, składające się na datę powstania grafiki – rok 1514.

Istnieją również językowe odmiany kwadratów magicznych. W takich kwadratach litery wpisane w pola kwadratu tworzą słowa w kolumnach i wierszach (nie zawsze muszą tworzyć one po przekątnych).

Przykłady kwadratów magicznych:

n = 3, S = 15	n = 4, S = 74	n = 5, S = 65	n = 9, S = 369

Miedzioryt Melancholia

Kwadrat z Melancholii Dürera nad skrzydłem anioła n=4 s=34 (16+1=17; 10+7=17; 13+4=17; 6+11=17; 15+2=17; 14+3=17; 12+5=17; 8+9=17)

[edytuj] Zobacz też

• dodekafonia
• kwadrat magiczny w krzyżówkach

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zima przyszła wcześnie - Polska pod śniegiem

Śnieg spadł niemal w całym kraju. Po nocnych opadach na Warmii i Mazurach panują trudne warunki jazdy. Pomimo bezustannej pracy 40 pługów i piaskarek drogi pozostają niebezpieczne. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby nad Bałtykiem może spaść nawet 20 centymetrów śniegu.