Lemat Lindenbauma

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Lemat Lindenbauma, jedno z twierdzeń metamatematycznych, zwane tradycyjnie "lematem". Sformułowane przez polskiego logika ze szkoły lwowsko-warszawskiej, Adolfa Lindenbauma. Ma ono szerokie zastosowanie w teorii modeli, m.in. w dowodach twierdzenia o pełności tzw. metodą henkinowską.

Lemat Lindenbauma głosi, że dowolny niesprzeczny zbiór formuł można rozszerzyć do niesprzecznego i zupełnego zbioru formuł.

Zapis formalny jest następujący (przez X oznaczamy zbiór formuł a przez Fm zbiór wszystkich formuł nad danym przeliczalnym alfabetem):

$\forall _{X} (\neg \forall _{\varphi \in Fm} [ X \vdash \varphi ] \Rightarrow \exists _{Y} [\{X \subseteq Y\} \wedge \neg \forall _{\varphi \in Fm} \{ Y \vdash \varphi \} \wedge \forall _{\varphi \in Fm} \{Y \vdash \varphi \vee Y \vdash \neg \varphi \}])$

[edytuj] Dowód lematu Lindenbauma

Tw. $\forall _{X} (\neg \forall _{\varphi \in Fm} [ X \vdash \varphi ] \Rightarrow \exists _{Y} [\{X \subseteq Y\} \wedge \neg \forall _{\varphi \in Fm} \{ Y \vdash \varphi \} \wedge \forall _{\varphi \in Fm} \{Y \vdash \varphi \vee Y \vdash \neg \varphi \}])$ .

Dowód:

Niech X będzie zbiorem niesprzecznym. Niech ciąg formul $\alpha _0, \alpha _1, \ldots$ będzie wyliczeniem zbioru formuł Fm. Taki ciąg istnieje, bo formuł jest przeliczalnie wiele. Określmy:

$Y 0 = X$ ,

$Y _{n+1} = \left\{ {Y _n \cup \{ \alpha _n\},\ gdy\ \langle \neg \alpha _n \rangle \not \in Cn(Y _n) \atop Y _n \cup \{\neg \alpha _n\},\ gdy\ \langle \neg \alpha _n \rangle \in Cn(Y _n)}\right.$ ,
$Y = \bigcup _{n \in \mathbb{N}} Y _n$ .

[Oznaczenia $\langle \alpha \rangle$ będziemy używać aby pokazać, że chodzi o użycie metajęzykowe. Zazwyczaj stosuje się w tym celu cudzysłowy quine'owskie (popularnie zwane "rogami"), które ze względu na ograniczenia techniczne Wikipedii nie są dostępne.]

Aby udowodnić lemat Lindenbauma, musimy pokazać trzy rzeczy: (a) zawieranie się X w Y, (b) zupełność Y i (c) niesprzeczność Y.

[edytuj] Zawieranie się

$X \subseteq Y$ . Z konstrukcji $Y = \bigcup _{n \in \mathbb{N}} Y _n$ i $Y 0 = X$ . Zatem X zawiera się w Y.

[edytuj] Zupełność Y

Twierdzimy, że Y jest zupełny, czyli $\forall _{\varphi \in Fm} (Y \vdash \varphi \vee Y \vdash \neg \varphi)$ . Dowód: Ustalmy $\varphi$ . Niech $\varphi = \alpha _n$ . Są dwa przypadki:

Przypadek 1. $\langle \neg \alpha _n \rangle \not \in Cn(Y _n)$ ;
Przypadek 2. $\langle \neg \alpha _n \rangle \in Cn(Y _n)$ .

Ad 1: $\alpha _n \in Y _{n + 1}$ , więc $\alpha _n \in Y$ .

Ad 2: $\langle \neg \alpha _n \rangle \in Y _{n + 1}$ , więc $\neg \alpha _n \in Y$ .

[edytuj] Niesprzeczność Y

Twierdzimy, że Y jest niesprzeczny. Dowodzimy przez indukcję po n, że dla każdego n $Y n$ jest niesprzeczne:

(0) $Y 0$ jest niesprzeczny z założenia. [krok zerowy]

(i) załóżmy, że $Y n$ jest niesprzeczny. [założenie indukcyjne]

(T) $Y n + 1$ jest niesprzeczny. [teza indukcyjna]

Fakt: $\forall _X \forall _\varphi [X \not\vdash \neg\varphi \Rightarrow X \cup \{\varphi\}\ jest\ niesprzeczne]$

Przypadek 1. $Y _{n+1} = Y _n \cup \{ \alpha _n\}$ . Z definicji $Y n$ : $\langle \neg \alpha \rangle \not\in Cn(Y _n)$ . Z Faktu: $Y _n \cup \{\alpha _n\}$ jest niesprzeczny.
Przypadek 2. $Y _{n+1} = Y _n \cup \{ \neg \alpha _n\}$ . Wtedy $\langle \neg\alpha _n \rangle \in Cn(Y _n)$ . $C n (Y n) = C n (Y n + 1)$ . Z (i), $Y n + 1$ jest niesprzeczny.

$\square$

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

[edytuj] Bibliografia

Woleński, Jan. Filozoficzna szkoła lwowsko-warszawska. PWN, Warszawa 1985.

Kategoria: Logika matematyczna

Dalajlama już w Polsce

Na gdańskim lotnisku wylądował Dalajlama. Na lotnisku witał go prezydent Gdańska, który zaraz po tym udzielał mediom wywiadów ubrany w dopiero co otrzymany tradycyjny szal. Dalajlama XIV Przyleciał prywatnym samolotem i w policyjnym konwoju odjechał z lotniska - relacjonował reporter TOK FM.

A co mnie jakiś barman na Cyprze obchodzi?

Tymi słowami Jacek Kurski skomentował doniesienia Polaka, pracującego w hotelu na Cyprze, o pijanych dwóch posłach PiS, którzy zniszczyli hotelowe wózki golfowe. Zapewnił też o swoim poparciu dla kolegów i porównał całą sprawę do swojego niedawnego drogowego wybryku, czyli "rzekomą aferą, która podnieciła tabloidy".

Lądowanie z turbulencjami: Lech Kaczyński przybył do Seulu

Prezydent RP Lech Kaczyński przybył około godz. 5.50 rano czasu polskiego do Seulu. Wizyta w Korei Południowej ma charakter oficjalny i kończy trwającą od niedzieli podróż prezydenta po Azji.

Marcinkiewicz na Platformie do Strasburga

Były premier Kazimierz Marcinkiewicz na pierwszym miejscu warszawskiej listy PO do Parlamentu Europejskiego. Taki wariant rozważają liderzy partii - dowiedziała się „Gazeta”

Dalajlama w Polsce

Dziś początek wizyty XIV Dalajlamy, duchowego i politycznego przywódcy Tybetańczyków, laureata Pokojowej Nagrody Nobla i jednego z największych żyjących autorytetów moralnych.

Człowiek, mnich, dalajlama

Dla Zachodu XIV Dalajlama Tenzjin Gjaco jest laureatem Pokojowej Nagrody Nobla, współczesnym Gandhim, moralnym autorytetem konsekwentnie głoszącym ideę miłości, szacunku i odpowiedzialności za wszystkie żywe istoty i za całą Ziemię.

Rondo Wolnego Tybetu - Chiny grożą Warszawie

Ambasada Chin ostrzega premiera i polski MSZ: rondo Wolnego Tybetu na warszawskiej Woli „mogłoby wywołać nieobliczalne reakcje społeczeństwa chińskiego”. Na razie wystraszył się jeden radny SLD.

"Żeby móc tak mówić, trzeba być nieskazitelnym bohaterem"

- Żeby używać takich słów, trzeba mieć autorytet, który mają postacie pomnikowe. Trzeba być nieskazitelnym bohaterem - tak Radosław Sikorski skomentował wypowiedź prezesa PiS. Jarosław Kaczyński stwierdził dziś, że "13-letnie dziewczynki wytrzymywały tortury gestapo, a Niesiołowski sypał".

Lech Wałęsa o UE: Ja, rewolucjonista trochę tu porozrabiam

W Brukseli odbyło się dziś pierwsze spotkanie grupy refleksji w sprawie przyszłości Unii Europejskiej. Uczestniczący w nim Lech Wałęsa zapowiedział, że jako "stary rewolucjonista" będzie zadawał prowokacyjne pytania i "jeśli go nie wyrzucą, to trochę porozrabia".

Dalajlama: Uczę się polskiej determinacji i siły woli

Określenie "Polska" towarzyszy mi od dzieciństwa; kiedy tylko tu jestem uczę się polskiej determinacji i siły woli - mówił w wywiadzie dla radiowej "Jedynki" Dalajlama XIV. Jutro duchowy przywódca Tybetańczyków przyjeżdża do Polski.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Lemat Lindenbauma

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Dowód lematu Lindenbauma

[edytuj] Zawieranie się

[edytuj] Zupełność Y

[edytuj] Niesprzeczność Y

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach