Logika modalna

Z Wikipedii

Logika modalna – teoria logiczna, która bada pojęcia możliwości, konieczności i ich wariantów. Niekiedy termin "logika modalna" rozumie się szerszej, włączając w jego obręb logiki epistemiczne, logiki temporalne, logiki deontyczne i logiki programów - niniejszy artykuł omawia jedynie logiki modalne w sensie wąskim (logiki modalne aletyczne) na przykładzie systemu S5.

Spis treści 1 Rys historyczno-techniczny 2 System S5 2.1 Język 2.2 Aksjomatyka 2.3 Wybrane tezy 3 Bibliografia

[edytuj] Rys historyczno-techniczny

Logika modalna uprawiana była już przez Arystotelesa jako sylogistyka zdań modalnych. Ten bardzo rozwinięty w logice średniowiecznej system był bardzo zbliżony do sylogistyki zdań asertorycznych, z tą różnicą, że przynajmniej jedna przesłanka każdego sylogizmu musiała być zdaniem modalnym, tj. problematycznym (zawierającym funktor możliwości) lub apodyktycznym (zawierającym funktor konieczności). Ze względu na to, jakimi zdaniami były przesłanki, sylogizmy modalne podzelone były odpowiednio na osiem grup. Tak jak w sylogistyce zdań asertorycznych, sylogizmy dzieliły się na tryby i figury. Nie każdemu poprawnemu modalnemu trybowi sylogistycznemu odpowiadał jednak porawny asertoryczny tryb sylogistyczny. Ponadto sylogistyka modalna była systemem niedokończonym.

Współczesną postacią logiki modalnej jest modalny rachunek zdań. Cechą charakterystyczną modalnych rachunków zdań jest występowanie w nich funktora możliwości, oznaczanego , i funktora konieczności, oznaczanego przez . Twórcą pierwszych systemów modalnego rachunku zdań (nazwanych później S1 i S2) jest C. I. Lewis. Następnie powstało jeszcze kilka innych systemów – Lewisa (S3, S4, S5), Kripkego (K), Feyesa (T), von Wrighta (M). Intencją Lewisa było stworzenie takiej logiki, która lepiej niż implikacja materialna w klasycznym rachunku zdań oddawałaby implikację występującą w języku naturalnym. Lewis nie uświadamiał sobie jeszcze w pełni różnicy między wynikaniem a implikacją ścisłą, współcześnie jednak logiki Lewisa interpretuje się powszechnie jako logiki zdań modalnych, na których gruncie właśnie implikację ścisłą zdefiniować można następująco:

Obecnie systemy rachunku modalnego tworzy się przede wszystkim ze względu na badanie pojęć modalnych, nie ze względu na poszukiwanie bardziej właściwego ujęcia pojęcia implikacji. Występując w nich funktory modalne są funktorami zdaniowymi, co jest główną różnicą między rachunkiem modalnym a sylogistyką modalną – w sylogistyce modalnej występowały one wewnątrz zdań, mówiła więc ona o konieczności/możliwości przysługiwania przedmiotom cech (modalność de re), nie o konieczności/możliwości zachodzenia stanów rzeczy (modalność de dictu).

[edytuj] System S5

System S5 należy do najszerszej znanych i najprostszych systemów modalnego rachunku zdań. Występujące w nim funktory zdaniotwórcze możliwości i konieczności, odróżniające go od klasycznego rachunku zdań, można rozumieć intuicyjnie odwołując się do Leibnizowskiej koncepcji światów możliwych: zdanie konieczne jest prawdziwe we wszystkich możliwych światach, zdanie możliwe jest prawdziwe w niektórych możliwych światach. Funktory możliwości i konieczności są przy tym wzajemnie definiowalne w następujący sposób: i , gdzie X jest formułą zdaniową.

[edytuj] Język

Słownik języka logiki modalnej systemu S5 jest językiem klasycznego rachunku zdań (w pewnej stylizacji) rozszerzonym o nieekstensjonalne funktory zdaniotwórcze możliwości i konieczności. W całości składają się na niego następujace elementy:

1. zmienne zdaniowe w ilości nieograniczonej, oznaczane przez p, q, r, s...
2. stałe logiczne stanowią funktory zdaniotwórcze:

   zeroargumentowe: - stała verum i stała falsum

   jednoargumentowe: - spójniki negacji, możliwości i konieczności

   dwuragumentowe: - spójniki koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności

Do zbioru formuł zdaniowych należą natomiast:

1. wszystkie zmienne zdaniowe,
2. wyrażenia ,
3. wyrażenia , gdzie X jest formułą zdaniową,
4. wyrażenia , gdzie X i Y są formułami zdaniowymi
5. wyrażenia powstające przez zastosowanie reguł 3 i 4 w skończonej liczbie kroków.

[edytuj] Aksjomatyka

Na gruncie systemu S5 przyjmuje się następoujące aksjomaty i definicje (uzupełniające aksjomatykę KRZ):

1. 
2. 
3. 
4. Definicja możliwości:

Na gruncie S5 przyjmuje się następujące reguły dowodzenia:

1.

2.

[edytuj] Wybrane tezy

1. - jeśli X jest konieczne, to X zachodzi rzeczywiście.
2. - jeśli X jest możliwe, to jest konieczne, że X jest możliwe.
3. - prawo rozdzielności konieczności względem implikacji mówi, że jeśli konieczna jest zarazem implikacja i jej poprzednik, konieczny jest też jej następnik.
4. - prawo rozdzielności konieczności względem koniunkcji.
5. - teza ta mówi, że co jest prawdziwe, jest zarazem możliwe.
6. - co jest konieczne, jest też możliwe.
7. - jeśli zachodzi X, to jest konieczne, że X jest możliwe
8. - co może być konieczne, zachodzi rzeczywiście.
9. - jeśli coś jest konieczne, to jest konieczne, że jest to konieczne.
10. - jeśli jest możliwe, że coś jest możliwe, to jest to możliwe.

[edytuj] Bibliografia

• Brian F. Chellas, Modal Logic. An Introduction, Cambridge 1980
• Witold Marciszewski (red.), Mała encyklopedia logiki, Wrocław 1970. Tu hasło Logika modalna.

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt nie jest już wiceministrem sportu

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt został odwołany ze stanowiska wiceministra sportu.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.