Objętość (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

1 Konstrukcja pojęcia
2 Objętość pod powierzchnią
3 Jednostki objętości
4 Zobacz też

[edytuj] Konstrukcja pojęcia

W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:

Pokrywamy całą przestrzeń siatką przylegających sześcianów o bokach $a 1$ .
Liczbę sześcianów, które mają choćby jeden punkt wspólny z bryłą lub obszarem przestrzeni, którego objętość chcemy obliczyć oznaczmy przez $n 1$ .

Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych krawędziach $a 2 < a 1$ , $a 3 < a 2$ , itd. uzyskamy ciąg liczb $n 1, n 2,...$ . Objętością nazywamy granicę:

$V=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^3$ .

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

$\{(x,y,z) \in \mathbb Q^3: 0, x, y, z<1\}$

oraz

$\{(x,y,z): 0<x, y, z<1 \and x \in I\mathbb Q \or y \in I\mathbb Q \or z \in I\mathbb Q\}$

mają obydwa objętości równe jeden, są rozłączne (mają pusty przekrój), a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.

Zobacz więcej w osobnym artykule: Miara Lebesgue'a.

[edytuj] Objętość pod powierzchnią

Objętość między powierzchnią daną równaniem $z = f (x, y)$ , a płaszczyzną $O X Y$ w obszarze $x 1 < x < x 2, y 1 < y < y 2$ jest równe całce podwójnej

$V=\int\limits_{x_1}^{x_2}\int\limits_{y_1}^{y_2}|f(x,y)|dy~dx$ .

[edytuj] Jednostki objętości

Za jednostkę objętości przyjmuje się sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Geometria • Teoria miary

Rząd chce nowych ustępstw od Amerykanów

PRZEGLĄD PRASY. 16 września zaczną się rozmowy o statusie wojsk USA w Polsce, dowiedziała się "Rzeczpospolita". Pierwsza runda odbędzie się w Waszyngtonie.

Kompromitacja ABW: zatrzymany przemytnik okaleczył się nożem

PRZEGLĄD PRASY. Agencja Bezpieczeństwa Wewnętrznego od ponad tygodnia usiłuje ukryć kolejną poważną wpadkę - pisze "Dziennik". Zatrzymany na granicy przemytnik zdołał wyjąć z samochodu nóż i zadać sobie cios w szyję.

W pracy wyzywali mnie od najgorszych

Koledzy obmacywali mnie w pracy i zmuszali do oglądania pornograficznych zdjęć - opowiada pracownica kieleckiej firmy. Teraz sprawą zajmuje się prokuratura

Nauczyciel z awansem, ale bez chęci

W szkole, która zatrudnia najlepiej opłacanych nauczycieli dyplomowanych, uczniowie mają gorsze wyniki niż tam, gdzie pracują nauczyciele gorzej wykwalifikowani - alarmuje NIK.

Dzieci samotne w sieci

Niewielu dorosłych boi się pedofilów czyhających na dzieci w internecie - wynika z badań CBOS i portalu Gazeta.pl.

Polski ślad więzień CIA

W Polsce istniał tajny ośrodek CIA - tej treści notatkę wywiadu poznało w 2006 r. trzech urzędników rządu PiS: Ziobro, Kaczmarek i Wassermann. Czy ośrodek służył Amerykanom jako więzienie dla terrorystów z al Kaidy? Sprawdza to prokuratura

PiS pożegna się z kilkoma uczestnikami szkolenia w Sierakowie

Sekretarz generalny PiS Jarosław Zieliński powiedział, że jego ugrupowanie zrezygnuje ze współpracy z osobami, które przewodziły w "niegodnych zachowaniach" na szkoleniu młodzieżówki partii w Sierakowie pod Poznaniem. Według niego, będzie to kilka osób.

Rząd o tekście dziennik.pl: to głupi dowcip gazety, która chce być cytowana

Zdaniem ministra w kancelarii premiera Rafała Grupińskiego, nie ma groźby zerwania koalicji PO-PSL. Również szef gabinetu politycznego premiera Sławomir Nowak zaprzeczył, by PO postawiła jakiekolwiek ultimatum PSL. Portal dziennik.pl poinformował w czwartek wieczorem, że "nieoficjalnie dowiedział się, iż" Platforma grozi PSL zerwaniem koalicji. Według portalu, PO stawia ludowcom ultimatum: albo poprą pakiet ustaw, albo nastąpi koniec koalicji. O tym, miał - według dziennika.pl - zdecydować czwartkowy zarząd.

Prezydent: Szczególna sytuacja Polski w UE jest nie do pozazdroszczenia

Prezydent Lech Kaczyński w czasie spotkania z ambasadorami mówiąc o stosunkach panujących w Unii Europejskiej, stwierdził, że istnieje właściwie dyrektoriat dwóch państw - Berlina i Paryża, a " szczególna sytuacja Polski w Unii jest w jakimś sensie nie do po zazdroszczenia". Prezydent podkreślił, że naszemu krajowi zależy na dobrych stosunkach z Rosją, ale Polska nie może być niczyją strefą wpływów. Prezydent przyznał też, że jest zaniepokojony relacjami między Polską a Niemcami.

Jak policjanci studentów legitymowali

- Rozbieraj się, do naga! - usłyszał we wtorek wieczorem student politechniki od policjanta. 21-latek miał się rozebrać w otwartym radiowozie, bo mundurowy i jego koledzy stwierdzili, że chłopak „wyglądał podejrzanie”

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Objętość (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Konstrukcja pojęcia

[edytuj] Objętość pod powierzchnią

[edytuj] Jednostki objętości

[edytuj] Zobacz też

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach