Objętość (matematyka)

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Skocz do: nawigacji, szukaj

Objętość jest miarą przestrzeni.

Spis treści

1 Konstrukcja pojęcia
2 Objętość pod powierzchnią
3 Jednostki objętości
4 Zobacz też

[edytuj] Konstrukcja pojęcia

W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:

Pokrywamy całą przestrzeń siatką przylegających sześcianów o bokach $a 1$ .
Liczbę sześcianów, które mają choćby jeden punkt wspólny z bryłą lub obszarem przestrzeni, którego objętość chcemy obliczyć oznaczmy przez $n 1$ .

Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych krawędziach $a 2 < a 1$ , $a 3 < a 2$ , itd. uzyskamy ciąg liczb $n 1, n 2,...$ . Objętością nazywamy granicę:

$V=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^3$ .

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

$\{(x,y,z) \in \mathbb Q^3: 0, x, y, z<1\}$

oraz

$\{(x,y,z): 0<x, y, z<1 \and x \in I\mathbb Q \or y \in I\mathbb Q \or z \in I\mathbb Q\}$

mają obydwa objętości równe jeden, są rozłączne (mają pusty przekrój), a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.

Zobacz więcej w osobnym artykule: Miara Lebesgue'a.

[edytuj] Objętość pod powierzchnią

Objętość między powierzchnią daną równaniem $z = f (x, y)$ , a płaszczyzną $O X Y$ w obszarze $x 1 < x < x 2, y 1 < y < y 2$ jest równe całce podwójnej

$V=\int\limits_{x_1}^{x_2}\int\limits_{y_1}^{y_2}|f(x,y)|dy~dx$ .

[edytuj] Jednostki objętości

Za jednostkę objętości przyjmuje się sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Geometria • Teoria miary

Wstępne wyniki sekcji gen. Sikorskiego: Nie ma dowodów morderstwa?

Najprawdopodobniej gen. Władysław Sikorski nie został zastrzelony, ani uduszony - wynika ze wstępnych wyników sekcji, do których dotarł Onet.pl. Jak podaje portal, gen. Sikorski odniósł obrażenia typowe dla katastrof komunikacyjnych.

Nie będzie bimbru na święta. Najnowocześniejsza wytwórnia wpadła

Wymyślił i zbudował najnowocześniejszą w tym roku bimbrownię na Podlasiu. Aby zwiększyć jej wydajność zmienił nawet bieg pobliskiego strumienia. Szykował się do świątecznej gorączki zakupów. Interes zamknęli policjanci. Wyprodukowane 2400 litrów zacieru i 250 litrów alkoholu zostały zniszczone.

Palikot: Odejście posłów PiS z komisji to część planu Jarosława Kaczyńskiego

- Jestem zdziwiony decyzją kolegów o odejściu z komisji - tak Janusz Palikot skomentował wycofanie się posłów PiS Pawła Poncyliusza i Adama Abramowicza z prac komisji "Przyjazne państwo". Palikot zaznaczył, że dotychczasowa współpraca przebiegała dobrze. Ocenił, że decyzja wpisuje się w plan Jarosława Kaczyńskiego aby "wetować wszystko".

Gosiewski: Chcemy odwołania Komorowskiego. Przebrała się miarka

Klub PiS złoży wniosek o odwołanie marszałka Sejmu Bronisława Komorowskiego - powiedział szef klubu PiS Przemysław Gosiewski. - Uznaliśmy, że przebrała się miarka - stwierdził Gosiewski. Ocenił, że marszałek wypowiadał się arogancko i "żałował, że snajper nie strzelił do prezydenta".

Samolot prezydenta idzie do generalnego remontu

Samolot Lecha Kaczyńskiego, który uległ awarii w Mongolii przejdzie generalny remont w Moskwie. Maszyna spędzi w Rosji aż pół roku - ustalił serwis internetowy tvp.info.

Dentysta: Pacjentkę trzeba czasem przycisnąć

Znany częstochowski stomatolog oskarżony o to, że najpierw pacjentki znieczulał, a potem molestował, stanie przed sądem. Grozi mu do ośmiu lat więzienia.

Chronić polski majątek w czasie kryzysu

Zanosi się na wielką wyprzedaż majątku narodowego - uważa Aleksandra Natalii-Świat z PiS, wiceprzewodnicząca sejmowej komisji finansów publicznych.

Proces dr G. kontra "Fakt" bez Ziobry: poseł został ukarany

Zbigniew Ziobro bez usprawiedliwienia nie stawił się na procesie cywilnym dr. Mirosława G. z "Faktem" (za tekst pt. "Doktor śmierć"). Sąd Okręgowy w Warszawie wymierzył mu 300 zł grzywny.

Polak i Brytyjczyk wywołali burdę na pokładzie samolotu

26-letni Polak i 24-letni Brytyjczyk wywołali burdę na pokładzie nocnego samolotu rejsowego linii Wizzair do Gdańska. Kapitan samolotu zgłosił zakłócenie porządku publicznego na pokładzie. Obaj kompletnie pijani pasażerowie zostali w kajdankach wyprowadzeni z samolotu.

Protest w Koninie: Negocjatorzy próbują nawiązać kontakt z ekologami

11 ekologów Greenpeace z 5 krajów wspina się na 150-metrowy komin zespołu elektrowni Pątnów-Adamów-Konin w Koninie(Wielkopolska). Na miejscu jest już grupa negocjatorów policyjnych, którzy starają się z nimi skontaktować.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Objętość (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Konstrukcja pojęcia

[edytuj] Objętość pod powierzchnią

[edytuj] Jednostki objętości

[edytuj] Zobacz też

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach