Obwód RLC

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować
Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

RLC jest skrótowym oznaczeniem dla obwodów elektrycznych (w tym elektronicznych) składających się tylko z trzech podstawowych elementów pasywnych:

rezystora, oznaczanego przez R (rezystancja)
cewki, oznaczanej przez L (indukcyjność)
kondensatorów, oznaczanych przez C (pojemność)

Natężenie prądu w szeregowym obwodzie RLC z doprowadzonym napięciem sinusoidalnie zmiennym wynosi:

I = I 0 sin(ω t)

Napięcie na zaciskach źródła:

$U=U_0 \sin (\omega t + \varphi)$

gdzie φ jest różnicą faz między natężeniem prądu i napięciem. Dodatkowo tangens przesunięcia fazowego równa się ilorazowi różnicy reaktancji cewki i kapacitancji kondensatora przez opór omowy:

$\operatorname{tg} \varphi = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R}$

Zawadą szeregowego obwodu RLC nazywamy całkowity opór takiego obwodu:

$Z = \sqrt{R^2 + \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)^2}$

Mogą zajść następujące przypadki:

$\omega L > \frac{1}{\omega C}$ — obwód ma charakter indukcyjny, kąt przesunięcia fazowego jest większy od zera, więc natężenie prądu spóźnia się w fazie w stosunku do napięcia na zaciskach źródła
$\omega L < \frac{1}{\omega C}$ — obwód ma charakter pojemnościowy, kąt przesunięcia fazowego jest mniejszy od zera, napięcie na zaciskach źródła spóżnia się w fazie w stosunku do natężenia prądu
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$ — zachodzi rezonans napięć, kąt przesunięcia fazowego jest równy zero, napięcie na zaciskach źródła jest zgodne w fazie z natężeniem prądu. W tym przypadku zawada obwodu jest najmniejsza, więc natężenie prądu osiąga największą wartość. Analogicznie dla równoległego obwodu RLC wystąpić może rezonans prądów. Obydwa te zjawiska mogą być bardzo groźne dla całości układu (może wystąpić uszkodzenie elementów). W mieszanych układach występować może wielokrotny rezonans częściowy.

Częstotliwość rezonansowa (czyli taka, przy której zachodzi rezonans napięć) wynosi:

$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$

W klasycznym, szeregowym obwodzie RLC, w dowolnej chwili t suma energii kondensatora, energii cewki oraz praca prądu w ciągu czasu t zamieniona na ciepło w oporze R (tzn. na ciepło Joule'a-Lenza) jest równa energii początkowej kondensatora i jest stała.

$\frac{Q^2}{2C}+\frac{LI^2}{2}+\int_0^t I^2R \ dt = \frac{Q_m^2}{2C}=const$

Q_m jest początkowym ładunkiem kondensatora.

Po zróżniczkowaniu obydwu stron powyższego równania względem czasu t otrzymamy:

$2\dot{Q} \frac{Q}{2C}+2I \frac{L \dot{I}}{2}+I^2 R=0$

Wiedząc, że:

$I=\frac{dQ}{dt}=\dot{Q}$

oraz

$\dot{I}=\frac{dI}{dt}=\frac{d(\dot{Q})}{dt}=\ddot{Q}$

możemy wyciągnąć I przed nawias i otrzymamy:

$I \left( \frac{Q}{C}+L\ddot{Q}+\dot{Q}R \right)=0$

Aby to równanie było spełnione w dowolnej chwili t, wyrażenie w nawiasie powinno być równe 0. Po podzieleniu stronami przez L otrzymujemy:

$\ddot{Q}+\frac{R}{L} \dot{Q} +\frac{1}{LC}Q=0$

Współczynnik przy Q jest kwadratem pulsacji drgań własnych swobodnych obwodu LC:

$\frac{1}{LC} = {\omega_0}^2$

Współczynnik przy pierwszej pochodnej $\dot{Q}$ oznaczamy przez 2β:

$\frac{R}{L} = 2 \beta \Rightarrow \frac{R}{2L} = \beta$

Równanie różniczkowe drgań elektrycznych gasnących:

$\ddot{Q} + 2\beta \dot{Q} + {\omega_0}^2 Q = 0$

Rozwiązaniem tego równania jest wzór:

$Q = Q_m \ e^{- \beta t} \cos(\omega t + \varphi)$

Częstość drgań gasnących:

$\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}=\sqrt{\frac{1}{LC} - {\frac{R^2}{4L^2}}}$

$\beta^2 < \omega_0^2 \Rightarrow \frac{R^2}{4L^2} < \frac{1}{LC}$

co oznacza, iż rozwiązanie równania różniczkowego drgań elektrycznych gasnących ma miejsce przy niezbyt dużym tłumieniu.

Zmiana napięcia na kondensatorze:

$U = \frac{Q_m}{C}\ e^{-\beta t} \cos(\omega t +\varphi)=U_m e^{-\beta t} \cos(\omega t +\varphi)$

Natężenie prądu jest przesunięte w fazie w stosunku do ładunku i napięcia na kondensatorze:

$I = \dot{Q} = Q_m \ \omega_0 \ e^{- \beta t} \left[ - \frac {\beta}{\omega_0} \cos(\omega t + \varphi) - \frac{\omega}{\omega_0} \sin(\omega t + \varphi) \right] = Q_m \ \omega_0 \ e^{-\beta t} \cos(\omega t + \varphi + \alpha)$

Dodatkowo:

$\frac{\omega}{\omega_0}=\sin \alpha$ oraz $\frac{\beta}{\omega_0}=\sin \alpha$

Zatem natężenie prądu zmienia się harmonicznie z amplitudą gasnącą wykładniczo, przy czym tangens przesunięcia fazowego natężenia prądu w stosunku do napięcia wynosi:

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\omega}{\beta} = \frac{\sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}}{\beta}=\frac{\sqrt{\frac{1}{LC} - {\frac{R^2}{4L^2}}}}{\frac{R}{2L}}$

Dobroć obwodu, czyli wielkość proporcjonalna do liczby pełnych drgań N_e wykonywanych przez obwód w czasie, w ciągu którego amplituda maleje e razy.

$D=\frac{\pi}{\delta} = \frac{\pi}{\beta T} = \frac{\omega}{2 \beta}$

Przy małym tłumieniu:

$\omega \approx \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

Wobec czego:

$D \approx \frac{\omega_0}{2 \beta}=\frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$

[edytuj] Linki zewnętrzne

animacja szeregowego obwodu RLC (w j. angielskim)

Kategoria: Elektrotechnika

Ukryta kategoria: Artykuły wymagające dopracowania

Czarnoskóry piłkarz pobity pod stadionem Odry

Zawodnik opolskiej Odry Pape Samba Ba został dotkliwie pobity przez nieznanych sprawców.

Protest w Koninie: Negocjatorzy próbują nawiązać kontakt z ekologami

11 ekologów Greenpeace z 5 krajów wspina się na 150-metrowy komin zespołu elektrowni Pątnów-Adamów-Konin w Koninie(Wielkopolska). Na miejscu jest już grupa negocjatorów policyjnych, którzy starają się z nimi skontaktować.

TV Puls rezygnuje z redakcji katolickiej

PRZEGLĄD PRASY. W telewizji Puls nie ma już redakcji katolickiej - informuje "Dziennik". Dziennikarze ją tworzący i dwadzieścia innych osób dostało wypowiedzenia. Dariusz Dąbski, prezes Pulsu, zapewnia jednak, że programy katolickie będą i z anteny na pewno nie znikną.

Lech Kaczyński doktorem honoris causa uniwersytetu w Ułan Bator

Prezydent Lech Kaczyński otrzymał tytuł doktora honoris causa Mongolskiego Uniwersytetu Państwowego. Uroczystość na uniwersytecie jest ostatnim punktem oficjalnej wizyty polskiego prezydenta w stolicy Mongolii - Ułan Bator.

Za co nagradza Kochanowski

Z okazji Międzynarodowego Dnia Praw Człowieka rzecznik praw obywatelskich dr Janusz Kochanowski uhonoruje swoją nagrodą zwolennika m.in. kary śmierci dla nieletnich i umysłowo upośledzonych

Władze Katowic nie chcą u siebie Czeczenów

300 Czeczenów zostanie rozwiezionych po Polsce, w tym 50 ciężarnych kobiet i 125 dzieci. Władze Katowic chcą zlikwidować ośrodek dla cudzoziemców

Wojna PiS i przystawek o media publiczne

Krzysztof Czabański za Andrzeja Urbańskiego? O takim wariancie huczy w telewizji.

Platforma wychodzi do ludzi bronić rządu

Partia zobowiązała działaczy do organizacji spotkań z mieszkańcami w każdym z 379 powiatów w Polsce. Mają przekonywać, że reformy blokuje prezydent i PiS

Cała polska buduje schetynówki

2 mld 220 mln zł - tyle chcą gminy i powiaty w przyszłym roku na tzw. schetynówki, czyli drogi lokalne.

Obama jak Wojtyła

- Recepcja nauczania Jana Pawła II jest tęczowa, od proletariackiej czerwieni do biskupich fioletów. Jego nauki podobały się różnym grupom często ze sobą skłóconym - powiedział wczoraj Adam Michnik podczas XV Debaty Tischnerowskiej zorganizowanej przez Uniwersytet Warszawski i wiedeński Instytut Nauk o Człowieku.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Obwód RLC

Z Wikipedii

[edytuj] Linki zewnętrzne

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach