Odwzorowanie otwarte

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Odwzorowanie otwarte i odwzorowanie domknięte to terminy w topologii odnoszące się do specjalnych własności funkcji pomiędzy przestrzeniami topologicznymi.

Spis treści

1 Definicje
2 Przykłady
3 Charakteryzacje i własności
4 Zobacz też
5 Bibliografia

[edytuj] Definicje

Niech $(X,τ X)$ i $(Y,τ Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi. Powiemy że funcja $f:X\longrightarrow Y$ jest otwarta jeśli obraz każdego otwartego podzbioru $X$ jest otwarty w $Y$ . Tak więc $f$ jest owzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy gdy

$\big(\forall A\in \tau_X\big)\big(f(A)\in\tau_Y\big).$

Pojęcie funkcji domkniętej jest wprowadzane podobnie, zastępując zbiory otwarte przez podzbiory domknięte. Czyli $f$ jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy gdy obraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty, który to warunek można zapisać jako

$\big(\forall A\in \tau_X\big)\big(Y\setminus f(X\setminus A)\in\tau_Y\big).$

W powyższych definicjach nie zakładano żadnych dodatkowych własności funkcji $f$ , w szczególności nie musi być ona ciągła. Jednak niektórzy autorzy wymagają dodatkowo że funkcja $f$ jest ciągła (wtedy więc odwzorowania otwarte i odwzorowania domknięte są funkcjami ciągłymi), por. Kuratowski^[1], Engelking^[2]

[edytuj] Przykłady

Każdy homeomorfizm przestrzeni topologicznych jest zarówno odwzorowaniem otwartym jak i odwzorowaniem domkniętym.
Rzut odwzorowujący trójwymiarową przestrzeń euklidesową na daną płaszczyznę jest ciągłym odwzorowaniem otwartym które nie jest domknięte. Podobnie dla rzutów płaszczyzny na proste.
Jeśli $X=\prod\limits_{i\in I}X_i$ jest produktem Tichonowa przestrzeni topologicznych, $j\in I$ oraz

$\pi_j:X\longrightarrow X_j:\bar{x}=\langle x_i:i\in I\rangle\mapsto x_j$

jest rzutem na

j

-tą wspołrzędną, to

π j

jest ciągłym odwzorowaniem otwartym z przestrzeni

X

na przestrzeń

X j

Jeśli $Y$ jest przestrzenią dyskretną to każda funkcja $f:X\longrightarrow Y$ jest odwzorowaniem domkniętym i otwartym (ale taka funkcja nie musi być ciągła, oczywiście).
Funkcja $g:{\mathbb R}\longrightarrow{\mathbb R}:r\mapsto r^2$ jest ciągłą funkcją domkniętą. Nie jest ona otwarta (np obraz całej przestrzeni nie jest otwartym podzbiorem ${\mathbb R}$ ). Natomiast ta sama funkcja traktowana jako odwzorowanie $g:{\mathbb R}\longrightarrow [0,\infty)$ jest otwarta. Przykład ten pokazuje że pojęcia wprowadzone tutaj zależą od wyboru przeciwdziedziny funkcji.

[edytuj] Charakteryzacje i własności

Niech $f:X\longrightarrow Y$ . Wówczas

(a)

f

jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego zbioru $B\subseteq Y$ i każdego domkniętego zbioru $A\subseteq X$ takiego że $f^{-1}(B)\subseteq A$ , istnieje zbiór domknięty $C\subseteq Y$ taki że $B\subseteq C$ i $f^{-1}(C)\subseteq A$ ;

(b)

f

jest odwzorowaniem domkniętym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego zbioru $B\subseteq Y$ i każdego otwartego zbioru $A\subseteq X$ takiego że $f^{-1}(B)\subseteq A$ , istnieje otwarty zbiór $C\subseteq Y$ taki że $B\subseteq C$ i $f^{-1}(C)\subseteq A$ .

Złożenie funkcji otwartych jest funkcją otwartą, podobnie złożenie funkcji domkniętych jest odwzorowaniem domkniętym.
Funkcja $f:X\longrightarrow Y$ jest odwzorowaniem otwartym wtedy i tylko wtedy gdy istnieje baza ${\mathcal B}$ topologii na $X$ taka że $f (U)$ jest otwarte w $Y$ dla każdego $U\in {\mathcal B}$ .
Jeśli $X$ jest przestrzenią zwartą i $Y$ jest przestrzenią Hausdorffa, to każda funkcja ciągła $f:X\longrightarrow Y$ jest odwzorowaniem domkniętym.
Przypuśćmy że odwzorowanie $f:X\longrightarrow Y$ jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i) Odwzorowanie

f

jest homeomorfizmem.

(ii) Odwzorowanie

f

jest domknięte i ciągłe.

(iii) Odwzorowanie

f

jest otwarte i ciągłe.

(iv) Dla każdego zbioru $A\subseteq X$ ,

$f (A)$ jest domknięty w $Y$ wtedy i tylko wtedy gdy $A$ jest domknięty w $X$ .

(v) Dla każdego zbioru $A\subseteq X$ ,

$f (A)$ jest otwarty w $Y$ wtedy i tylko wtedy gdy $A$ jest otwarty w $X$ .

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

↑ Kuratowski, Kazimierz; Topology; Volume I. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. Strona 115.
↑ Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strony 31-32. ISBN 3-88538-006-4

Kategoria: Topologia

W Medyce znowu blokada "mrówek" i interwencja policji

Policja po raz kolejny rozbiła blokadę przejścia granicznego w Medyce na Podkarpaciu. Przejście zablokowało około setki osób, tzw. mrówek, które protestują przeciwko przepisom zmniejszającym liczbę legalnie wwożonych papierosów spoza krajów Unii Europejskiej..

Raczek i Szczygielski "najpiękniejszą parą" - TVP nie pokaże już imprez "Gali"

W planie imprez TVP2 na 2009 rok nie ma transmisji z wręczenia "Róż Gali" i nagród "Viva Najpiękniejsi". Według członka zarządu TVP Sławomira Siwka z transmitowania tych imprez zrezygnowała dyrekcja Dwójki po dokonaniu "ich oceny merytorycznej". Decyzje zarządu są następstwem transmisji "Róż Gali" sprzed dwóch tygodni: "najpiękniejszą parę" ogłoszono na niej Tomasza Raczka i Marcina Szczygielskiego.

Sikorski: Nie kandyduję na szefa NATO

- Nie jestem kandydatem na nowego sekretarza generalnego NATO, chcę pozostać w rządzie Donalda Tuska do końca mandatu - powiedział w Brukseli szef polskiej dyplomacji Radosław Sikorski.

PiS o rządach Gronkiewicz-Waltz: Brak wizji

PiS krytykuje dwuletnie rządy Hanny Gronkiewicz-Waltz w Warszawie: zarzuca jej m.in. zaniedbania inwestycyjne, złą politykę personalną i podwyżki. Według Jarosława Kaczyńskiego, prezydent Warszawy brak wizji. - Zarzuty PiS są bezzasadne - uważa z kolei rzecznik stołecznego urzędu miasta Tomasz Andryszczyk.

Lech Kaczyński: rząd powinien podjąć kroki w celu zakupu samolotów dla VIP-ów

Według Lecha Kaczyńskiego, rząd powinien podjąć "stosowne kroki w sprawie kupna samolotów" dla najważniejszych osób w państwie. Prezydent przyleciał z Mongolii do Japonii wynajętym samolotem. Rządowy Tu "zamarzł" na mongolskim lotnisku. - chwalę Boga, ponieważ państwo i ja możemy dalej rozmawiać - mówił Lech Kaczyński dziennikarzom.

Koszt czarteru do Japonii 130 tys. dolarów

Według prezydenckiego ministra Michała Kamińskiego, koszt wyczarterowania samolotu, którym Lech Kaczyński poleciał z Mongolii do Japonii, to 130 tys. dolarów.

Gross nie musi przepraszać syna mężczyzny opisanego w "Sąsiadach"

Jan T. Gross nie musi przepraszać Kazimierza Laudańskiego m.in. za to, że w "Sąsiadach" opisał jego ojca jako jednego z uczestników pogromu Żydów w 1941 r. w Jedwabnem - orzekł we wtorek Sąd Okręgowy w Warszawie.

Rząd przyjął poprawki do budżetu

Rząd przyjął poprawki do projektu ustawy budżetowej na przyszły rok zakładające zmniejszenie planowanego wzrostu PKB z 4,8 do 3,7 procent.

Szymon Hołownia wypiera ojca Rydzyka. Z kablówek

Sieć kablowa UPC usunie ze swojej oferty TV Trwam. Zamiast niej pojawi się kanał Religia.tv, którego twarzą jest Szymon Hołownia. Religia.tv pojawia się w kolejnych kablówkach. Kto woli telewizję ojca Rydzyka musi zakupić specjalny zestaw do jej odbioru.

Niech nasi bliscy wyglądają po śmierci jak ludzie

Pani Anna straciła ojca miesiąc temu. Chciała zapomnieć, jak wyglądało jego ciało, kiedy odebrała je po sekcji zwłok z warszawskiego Zakładu Medycyny Sądowej. Gdy przeczytała nasz tekst "Chciałem ostatni raz zobaczyć syna", zdecydowała się zadzwonić. - W tym zakładzie dzieje się coś bardzo niedobrego. Tata był w strasznym stanie..., szwy puściły..., a cała rodzina chciała się z nim pożegnać - mówi pani Anna i zaczyna płakać

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Odwzorowanie otwarte

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicje

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Charakteryzacje i własności

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach