Okrąg

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Skocz do: nawigacji, szukaj

Ten artykuł dotyczy krzywej zamkniętej. Zobacz też: miejscowość o tej nazwie.

Zobacz hasło okrąg w Wikisłowniku

Okrąg

Okrąg – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu o zadaną odległość.

Słowo „okrąg” jest często mylone ze słowem „okręg” oznaczającym obszar administracyjny.

Spis treści

1 Definicja
2 Przestrzeń trójwymiarowa
3 Przestrzeń wielowymiarowa
4 Wzajemne położenie dwóch okręgów
- 4.1 Płaszczyzna
- 4.2 Przestrzeń
5 Przestrzeń metryczna
6 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $S = (x 0, y 0)$ będzie ustalonym punktem, zaś $r$ odcinkiem o dodatniej długości. Okręgiem nazywamy zbiór punktów płaszczyzny euklidesowej spełniającej równość

$\{(x, y): (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2= r^2\} \,$ .

Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego

$\begin{cases} x = x_0 + r \cos \alpha \\ y = y_0 + r \sin \alpha \end{cases}$ ,

gdzie parametr $\alpha \in (0, 2\pi)$ .

[edytuj] Pojęcia

Punkt $S$ nazywamy środkiem okręgu, zaś każdy odcinków o początku $S$ i końcu w jednym z punktów okręgu nazywamy promieniem, również długość $| r |$ nazywana jest tym terminem.

Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne, prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu.

Cięciwą nazywamy odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu.

Średnica okręgu to cięciwa przechodząca przez środek okręgu, podobnie jak w przypadku promienia tym pojęciem określa długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez $d$ , zachodzi równość $d = 2 r$ .

[edytuj] Wzory

Najbardziej znaną stałą związaną z okręgiem (kołem) jest $π$ wynoszące w przybliżeniu $3,14159265\dots$ Jest ona jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych.

Zobacz więcej w osobnym artykule: Pi.

Długość okręgu wyraża się wzorem:

$O = 2\pi r \,$

Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (okrąg nie ma wnętrza, a więc i powierzchni) wyraża się wzorem:

$S = \pi r^2 \,$

[edytuj] Uwagi

W ujęciu topologicznym okrąg to brzeg koła domkniętego.
Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy o równych półosiach i jako taki jest krzywą stożkową.

[edytuj] Przestrzeń trójwymiarowa

Okrąg o środku w punkcie $S (x 0, y 0, z 0)$ i promieniu $r$ , zanurzony w euklidesowej przestrzeni trójwymiarowej może być zdefiniowany jako część wspólna sfery o środku $S$ i płaszczyzny przechodzącej przez $S$ . Opisuje go układ równań:

$\begin{cases} A \cdot (x - x_0) + B \cdot (y - y_0) + C \cdot (z-z_0)=0 \\ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \end{cases}$ ,

gdzie $r > 0$ oraz $A, B, C$ równocześnie się nie zerują.

[edytuj] Przestrzeń wielowymiarowa

Okrąg zanurzony w $n$ -wymiarowej przestrzeni euklidesowej o środku w punkcie $S(s_1, s_2, \dots, s_n)$ i promieniu $r$ może być zdefiniowany jako część wspólna $n - 1$ -wymiarowej sfery o środku $S$ oraz $n - 2$ hiperpłaszczyzn przechodzących przez $S$ . Każdy okrąg w przestrzeni wielowymiarowej może zatem być opisany układem $n - 1$ równań:

$\begin{cases} a_{1,1} \cdot (x_1 - s_1) + a_{1,2} \cdot (x_2 - s_2) + \dots + a_{1,n} \cdot (x_n - s_n) = 0 \\ a_{2,1} \cdot (x_1 - s_1) + a_{2,2} \cdot (x_2 - s_2) + \dots + a_{2,n} \cdot (x_n - s_n) = 0 \\ \dots \\ a_{n-2,1} \cdot (x_1 - s_1) + a_{n-2,2} \cdot (x_2-s_2) + \dots + a_{n-2,n} \cdot (x_n - s_n) = 0 \\ (x_1 - s_1)^2 + (x_2 - s_2)^2 + \dots + (x_n - s_n)^2 = r^2 \\ \end{cases}$

Jednak nie każdy układ równań tej postaci generuje okrąg, np. jeśli dwa spośród tych równań będą liniowo zależne, zbiorem rozwiązań układu nie będzie okrąg, a np. sfera.

[edytuj] Wzajemne położenie dwóch okręgów

Rozpatrzmy dwa okręgi o środkach $O 1$ i $O 2$ oraz promieniach odpowiednio $r 1$ i $r 2$ . Przez $d (O 1, O 2)$ rozumieć będziemy odległość między środkami okręgów.

[edytuj] Płaszczyzna

Jeżeli leżą one na jednej płaszczyźnie, to mogą być one:

identyczne – posiadają wspólny środek i mają równe promienie, należą do nich te same punkty: $O_1 = O_2 \and r_1 = r_2$ ,
współśrodkowe – mają ten sam środek: $O 1 = O 2$ ,
styczne wewnętrznie-mają dokładnie jeden punkt wspólny,jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: $d (O 1, O 2) = | r 1 - r 2 |$ ,
styczne zewnętrznie – mają dokładnie jeden punkt wspólny, żaden z nich nie leży w kole ograniczonym przez drugi okrąg: $d (O 1, O 2) = r 1 + r 2$ ,
rozłączne – nie mają punktów wspólnych, przy czym albo jeden z nich leży w kole ograniczonym przez drugi: $d (O 1, O 2) < | r 1 - r 2 |$ , albo leżą na zewnątrz swoich kół: $d (O 1, O 2) > r 1 + r 2$ ,
przecinające się – posiadają dwa punkty wspólne: $| r 1 - r 2 | < d (O 1, O 2) < r 1 + r 2$ .

[edytuj] Przestrzeń

Jeżeli dwa okręgi leżą w przestrzeni o co najmniej trzech wymiarach, to mogą być m.in.:

współpłaszczyznowe – leżą na tej samej płaszczyźnie,
identyczne – są współpłaszczyznowe, posiadają wspólny środek i mają równe promienie,
rozłączne i splecione – każdy z nich ma jeden punkt wspólny z wnętrzem koła drugiego okręgu,
rozłączne i nie splecione – żaden z nich nie ma punktu wspólnego z kołem drugiego okręgu.

[edytuj] Przestrzeń metryczna

Pojęcie okręgu może być uogólnione na dowolną przestrzeń metryczną w naturalny sposób. Odległością wg której definiuje się okrąg jest ustalona metryka. W dowolnej przestrzeni metrycznej $(X, \varrho)$ mamy więc:

$O(x_0, r) = \{x\colon \varrho(x_0, x) = r\}$ .

Metryka euklidesowa generuje okrąg, istnieją jednak metryki, które na płaszczyźnie euklidesowej generują zbiory takie jak kwadrat (o bokach równoległych do osi prostokątnego układu o równych jednostkach i obrócony o $45^\circ$ ). Na prostej okręgiem są punkty równo oddalone od środka. W trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej odpowiednikiem okręgu jest sfera.

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Krzywe

W Medyce znowu blokada "mrówek" i interwencja policji

Policja po raz kolejny rozbiła blokadę przejścia granicznego w Medyce na Podkarpaciu. Przejście zablokowało około setki osób, tzw. mrówek, które protestują przeciwko przepisom zmniejszającym liczbę legalnie wwożonych papierosów spoza krajów Unii Europejskiej..

Raczek i Szczygielski "najpiękniejszą parą" - TVP nie pokaże już imprez "Gali"

W planie imprez TVP2 na 2009 rok nie ma transmisji z wręczenia "Róż Gali" i nagród "Viva Najpiękniejsi". Według członka zarządu TVP Sławomira Siwka z transmitowania tych imprez zrezygnowała dyrekcja Dwójki po dokonaniu "ich oceny merytorycznej". Decyzje zarządu są następstwem transmisji "Róż Gali" sprzed dwóch tygodni: "najpiękniejszą parę" ogłoszono na niej Tomasza Raczka i Marcina Szczygielskiego.

Sikorski: Nie kandyduję na szefa NATO

- Nie jestem kandydatem na nowego sekretarza generalnego NATO, chcę pozostać w rządzie Donalda Tuska do końca mandatu - powiedział w Brukseli szef polskiej dyplomacji Radosław Sikorski.

PiS o rządach Gronkiewicz-Waltz: Brak wizji

PiS krytykuje dwuletnie rządy Hanny Gronkiewicz-Waltz w Warszawie: zarzuca jej m.in. zaniedbania inwestycyjne, złą politykę personalną i podwyżki. Według Jarosława Kaczyńskiego, prezydent Warszawy brak wizji. - Zarzuty PiS są bezzasadne - uważa z kolei rzecznik stołecznego urzędu miasta Tomasz Andryszczyk.

Lech Kaczyński: rząd powinien podjąć kroki w celu zakupu samolotów dla VIP-ów

Według Lecha Kaczyńskiego, rząd powinien podjąć "stosowne kroki w sprawie kupna samolotów" dla najważniejszych osób w państwie. Prezydent przyleciał z Mongolii do Japonii wynajętym samolotem. Rządowy Tu "zamarzł" na mongolskim lotnisku. - chwalę Boga, ponieważ państwo i ja możemy dalej rozmawiać - mówił Lech Kaczyński dziennikarzom.

Koszt czarteru do Japonii 130 tys. dolarów

Według prezydenckiego ministra Michała Kamińskiego, koszt wyczarterowania samolotu, którym Lech Kaczyński poleciał z Mongolii do Japonii, to 130 tys. dolarów.

Gross nie musi przepraszać syna mężczyzny opisanego w "Sąsiadach"

Jan T. Gross nie musi przepraszać Kazimierza Laudańskiego m.in. za to, że w "Sąsiadach" opisał jego ojca jako jednego z uczestników pogromu Żydów w 1941 r. w Jedwabnem - orzekł we wtorek Sąd Okręgowy w Warszawie.

Rząd przyjął poprawki do budżetu

Rząd przyjął poprawki do projektu ustawy budżetowej na przyszły rok zakładające zmniejszenie planowanego wzrostu PKB z 4,8 do 3,7 procent.

Szymon Hołownia wypiera ojca Rydzyka. Z kablówek

Sieć kablowa UPC usunie ze swojej oferty TV Trwam. Zamiast niej pojawi się kanał Religia.tv, którego twarzą jest Szymon Hołownia. Religia.tv pojawia się w kolejnych kablówkach. Kto woli telewizję ojca Rydzyka musi zakupić specjalny zestaw do jej odbioru.

Niech nasi bliscy wyglądają po śmierci jak ludzie

Pani Anna straciła ojca miesiąc temu. Chciała zapomnieć, jak wyglądało jego ciało, kiedy odebrała je po sekcji zwłok z warszawskiego Zakładu Medycyny Sądowej. Gdy przeczytała nasz tekst "Chciałem ostatni raz zobaczyć syna", zdecydowała się zadzwonić. - W tym zakładzie dzieje się coś bardzo niedobrego. Tata był w strasznym stanie..., szwy puściły..., a cała rodzina chciała się z nim pożegnać - mówi pani Anna i zaczyna płakać

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Okrąg

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Pojęcia

[edytuj] Wzory

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Przestrzeń trójwymiarowa

[edytuj] Przestrzeń wielowymiarowa

[edytuj] Wzajemne położenie dwóch okręgów

[edytuj] Płaszczyzna

[edytuj] Przestrzeń

[edytuj] Przestrzeń metryczna

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach