Operator nabla

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Nabla - operator różniczkowy traktowany w operacjach rachunkowych jak symboliczny wektor. Pozwala zapisać operacje różniczkowe na funkcjach w prostej i zwartej formie działań wektorów.

W trójwymiarowym, kartezjańskim układzie współrzędnych, wyrażony jako współrzędne wektora:

$\nabla = \left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)$

lub jako suma wektorów:

$\nabla = \mathbf{i}{\partial \over \partial x} + \mathbf{j}{\partial \over \partial y} + \mathbf{k}{\partial \over \partial z}$

gdzie:

$(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k})$ to wektory bazowe czyli wektory jednostkowe (wersory) o kierunkach i zwrotach zgodnych z kolejnymi osiami (X,Y, Z) układu współrzędnych w R³.

Operator nabla może być uogólniony na n-wymiarową przestrzeń euklidesową Rⁿ. W kartezjańskim układzie współrzędnych ze współrzędnymi (x₁, x₂, ..., x_n), nabla jest określona:

$\nabla = \sum_{i=1}^n e_i {\partial \over \partial x_i}$

gdzie $\{ e_i: 1\leq i\leq n\}$ wersory bazowe układu współrzędnych.

Używając sumacyjnej notacji Einsteina zapisuje się jako:

$\nabla = \hat e_i \partial_i.$

Operator nabla może być wyrażony też w niekartezjańskich układach współrzędnych, lecz zazwyczaj wzory są bardziej złożone.

Spis treści

1 Działanie operatora nabla na
- 1.1 Pole skalarne
- 1.2 Pole wektorowe
2 Dwukrotne działanie operatora
3 Zobacz też

[edytuj] Działanie operatora nabla na

[edytuj] Pole skalarne

Operator nabla działając na funkcję skalarną określoną w przestrzeni (pole skalarne) f tworzy pole wektorowe $\mathbf{W}$ . Wyrażenie to jest zapisywane i postrzegane jako iloczyn wektora przez liczbę, wynikiem tego działania jest wektor. Czyli:

$\nabla f=\left({\partial f \over \partial x}, {\partial f \over \partial y}, {\partial f \over \partial z}\right).$

$\nabla f= \mathbf{W}$

Operator ten to gradient.

[edytuj] Pole wektorowe

Operator nabla może być użyty też na funkcji wektorowej czyli na polu wektorowym, tworząc pole tensorowe (tensor), pole wektorowe lub pole skalarne. Operacje te zapisuje się symbolicznie jako odpowiednie działania na symbolicznym wektorze nabla i wektorze pola: iloczyn tensorowy, iloczyn wektorowy i iloczyn skalarny wektorów.

Iloczyn tensorowy operatora i wektora pola $v$ zapisywany jest jako $\nabla \otimes v$ i reprezentuje iloczyn diadyczny.

Iloczyn wektorowy operatora i wektora pola zapisywany jest jako $\nabla \times v$ i odpowiada rotacji:

$\nabla \times v=\left( {\frac{\partial v_3}{\partial y}} - {\frac{\partial v_2}{\partial z}}, {\frac{\partial v_1}{\partial z}} - {\frac{\partial v_3}{\partial x}}, {\frac{\partial v_2}{\partial x}} - {\frac{\partial v_1}{\partial y}} \right)$

Iloczyn skalarny operatora i wektora pola zapisywany jest jako $\nabla \cdot v$ i odpowiada dywergencji:

$\nabla \cdot v = {\partial v_1 \over \partial x} + {\partial v_2 \over \partial y} + {\partial v_3 \over \partial z}$

[edytuj] Dwukrotne działanie operatora

Dla pola skalarnego f, wynikiem działania operatora różniczkowego jest wektor $\nabla f$ i jest tylko jedna postać tego pola. Otrzymane pole wektorowe można poddać działaniu operatora uzyskując 3 możliwości.

Dla wektorów nie wszystkie drugie różniczki mają znaczenie praktyczne, dlatego zdefiniowano tylko 6 drugich różniczek pola wektorowego

W tabelce przedstawiono zapis dwukrotnego działania operatora na pole skalarne i wektorowe

Dla pola skalarnego $f$
$\nabla \cdot \nabla f$	$\nabla \times \nabla f$	$\nabla \otimes \nabla f$
Dla pola wektorowego $v$
$\nabla \cdot \nabla \times v$	$\nabla \times \nabla \times v$	$\nabla \otimes \nabla \times v$
$\nabla ( \nabla \cdot v )$	$\nabla \cdot \nabla \otimes v$	$\nabla \otimes \nabla \otimes v$

Przy czym zachodzą prawidłowości odpowiadające:

$\nabla \times \nabla f = 0$ – oznacza że rotacja pola dla którego istnieje pole skalarne (potencjalne) jest równa zero,

$\nabla \cdot \nabla \times v = 0$

Oraz:

$\nabla \cdot \nabla \otimes v = \nabla ( \nabla \cdot v )$

Pozostaje tylko 6 nietrywialnych drugich pochodnych odpowiadają one operacjom:

$\nabla \cdot \nabla f$	$\nabla \otimes \nabla f$	$\nabla (\nabla \cdot v)$
$\nabla \times \nabla \times v$	$\nabla \otimes \nabla \times v$	$\nabla \otimes \nabla \otimes v$

W celu uproszczenia zapisu stosuje się notację:

$\nabla \cdot \nabla f = \nabla^2 f =\Delta f$

Operator $Δ f$ to laplasjan najważniejszy z operatorów drugiego stopnia.

Dla pól zachowawczych (potencjalnych) macierz $\nabla \otimes \nabla f$ jest macierzą symetryczną, więc jest to macierz hermitowska. Macierze hermitowskie mają rzeczywiste wartości własne.

Dla podwójnego iloczynu wektorowego zachodzi:

$\nabla \times \nabla \times v = \nabla(\nabla \cdot v) - \nabla^2 v.$

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

p • d • e

Operatory różniczkowe

dywergencja • gradient • nabla • dalambercjan • laplasjan • rotacja

Kategoria: Analiza matematyczna

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Operator nabla

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Działanie operatora nabla na

[edytuj] Pole skalarne

[edytuj] Pole wektorowe

[edytuj] Dwukrotne działanie operatora

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach