Opisowa teoria mnogości

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Opisowa teoria mnogości – poddziedzina teorii mnogości poświęcona badaniom definiowalnych podzbiorów przestrzeni polskich. Rozwinęła się w pierwszej połowie XX wieku na styku teorii funkcji rzeczywistych, topologii, teorii miary i logiki matematycznej.

W klasyfikacji MSC 2000 badań naukowych w matematyce (prowadzonej przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne) opisowa teoria mnogości oznaczana jest kodem 03E15.

Klasycznymi źródłami informacji w tej dziedzinie matematyki są monografie Yiannisa Moschovakisa^[1] oraz Aleksandra Kechrisa^[2]. Z literatury dostępnej w języku polskim należy wymienić monografię Kazimierza Kuratowskiego i Andrzeja Mostowskiego^[3], a także książkę Wojciecha Guzickiego i Pawła Zbierskiego^[4].

Spis treści

1 Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskich
2 Wybrane własności klas punktowych
3 Regularność klas punktowych
4 Definiowalne relacje równoważności
- 4.1 Definicje
- 4.2 Podstawowe własności
5 Zobacz też
6 Przypisy

[edytuj] Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskich

Podstawowymi klasami zbiorów badanych w klasycznej opisowej teorii mnogości są zbiory borelowskie oraz szersza klasa zbiorów rzutowych i ich efektywne wersje. Własności tych klas mogą być interesujące nawet dla matematyków nastawionych na skrajną konstruowalność.

Funkcje rozważane w opisowej teorii mnogości są zwykle mierzalne względem σ-ciała zbiorów borelowskich (czyli są to funkcje borelowskie). Wśród funkcji borelowskich wyróżnia się izomorfizmy borelowskie, czyli bijekcje pomiędzy przestrzeniami polskimi, które są borelowskie i dla których funkcja odwrotna też jest borelowska. Powiązanymi (i badanymi) klasami funkcji są też klasy Baire'a.

Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne, co więcej - każda przestrzeń polska jest ciągłym różnowartościowym obrazem domkniętego podzbioru przestrzeni Baire'a ${\mathcal N}$ . Często dowody przeprowadza się właśnie w przestrzeni Baire'a ${\mathcal N}$ (która jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych), ale rozważania są też prowadzone w innych doskonałych przestrzeniach polskich i każdą z nich traktuje się jak prostą rzeczywistą. To podejście pozwala zawsze ustalić taką przestrzeń, dla której nasz dowód jest najbardziej elegancki, a jednocześnie pozwala formułować twierdzenia tak, że mówią o najbardziej popularnym obiekcie w matematyce: prostej.

Przypomnijmy definicje klas borelowskich i rzutowych. Niech X będzie przestrzenią polską.

Borelowskie podzbiory X

Przez indukcję po liczbach porządkowych $0 < α < ω 1$ definiujemy rodziny $\Sigma^0_\alpha(X)=\Sigma^0_\alpha$ , $\Pi^0_\alpha(X)=\Pi^0_\alpha$ oraz $\Delta^0_\alpha(X)=\Delta^0_\alpha$ podzbiorów przestrzeni X:

$\Sigma^0_1$ jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów X, $\Pi^0_1$ , to rodzina wszystkich dopełnień zbiorów z $\Sigma^0_1$ (czyli jest to rodzina zbiorów domkniętych). Ponadto kładziemy $\Delta^0_1=\Sigma^0_1\cap \Pi^0_1$ , czyli $\Delta^0_1$ jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów X.
Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już $\Sigma^0_\beta,\Pi^0_\beta,\Delta^0_\beta$ dla $0 < β < α$ . Określamy:

$\Sigma^0_\alpha$ jest rodziną wszystkich zbiorów postaci $A=\bigcup\limits_{n=0}^\infty A_n$ , gdzie $A_n\in \bigcup\limits_{\beta<\alpha}\Pi^0_\beta$ (dla wszystkich n),

$\Pi^0_\alpha$ jest rodziną wszystkich zbiorów $A\subseteq X$ takich, że $X\setminus A\in \Sigma^0_\alpha$ ,

$\Delta^0_\alpha=\Sigma^0_\alpha\cap \Pi^0_\alpha$ .

Elementy rodziny $\bigcup_{\alpha<\omega_1}\Sigma^0_\alpha(X)$ nazywamy borelowskimi podzbiorami przestrzeni $X$ .

Rzutowe podzbiory X

Przez indukcję po liczbach naturalnych $n\in {\mathbb N}$ klasy $\Sigma^1_n(X)=\Sigma^1_n$ oraz $\Pi^1_n(X)=\Pi^1_n$ :

$\Sigma^1_1$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X\times{\mathcal N}$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\}$ ,
$\Pi^1_1$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że $X\setminus A\in \Sigma^1_1$ ,
$\Sigma^1_{n+1}$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego $B\in\Pi^1_n(X\times{\mathcal N})$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\}$ ,
$\Pi^1_{n+1}$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że $X\setminus A\in \Sigma^1_{n+1}$ .

Definiujemy również $\Delta^1_n(X)=\Sigma^1_n(X)\cap \Pi^1_n(X)$ .

Elementy rodziny $\bigcup_{n<\omega}\Sigma^1_n(X)$ nazywamy rzutowymi podzbiorami przestrzeni $X$ .

[edytuj] Wybrane własności klas punktowych

Niech X będzie przestrzenią polską.

Zachodzą następujące inkluzje (gdzie " $\subseteq$ " jest reprezentowane przez strzałkę " $\longrightarrow$ "):

$\Sigma^0_\alpha$

$\Sigma^0_\beta$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\Delta^0_\alpha$

$\Delta^0_\beta$

$\Delta^0_{\beta+1}$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\Pi^0_\alpha$

$\Pi^0_\beta$

dla wszystkich $α < β < ω 1$ oraz

$\Sigma^1_1$

$\Sigma^1_2$

$\ldots$

$\Sigma^1_n$

$\Sigma^1_{n+1}$

$\ldots$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\Delta^1_1$

$\Delta^1_2$

$\Delta^1_3$

$\ldots$

$\Delta^1_n$

$\Delta^1_{n+1}$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\nearrow$

$\searrow$

$\Pi^1_1$

$\Pi^1_2$

$\ldots$

$\Pi^1_n$

$\Pi^1_{n+1}$

$\ldots$

Jeśli przestrzeń X jest nieprzeliczalna, to wszystkie inkluzje powyżej są właściwe.
$\Delta^1_1(X)$ jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni X. Jest to σ-ciało podzbiorów X.
Ciągły różnowartościowy obraz borelowskiego podzbioru przestrzeni polskiej jest zbiorem borelowskim.
Każdy zbiór klasy $\Sigma^1_2$ jest sumą $\aleph_1$ zbiorów borelowskich.
Twierdzenie uniformizacyjne Kondo-Nowikowa: Jeśli $X, Y$ są przestrzeniami polskimi oraz $A\in\Pi^1_1(X\times Y)$ , to można wybrać zbiór $B\in \Pi^1_1(X\times Y)$ zawarty w $A$ i taki, że dla wszystkich $x\in X$

$(\exists y\in Y)((x,y)\in A)\ \Leftrightarrow\ (\exists ! y\in Y)((x,y)\in B)$ .

(Powyżej kwantyfikator $\exists !$ oznacza istnieje dokładnie jeden).

[edytuj] Regularność klas punktowych

Pytania dotyczące regularności klas punktowych są w centrum zainteresowań opisowej teorii mnogości. Regularność może mieć wiele znaczeń i może odnosić się do mierzalności w sensie Lebesgue'a, własności Baire'a, własności Ramseya, własności zbioru doskonałego i innych własności tego typu. Przykładowe twierdzenia dotyczące tej tematyki to:

wszystkie zbiory klasy $\Sigma^1_1$ mają własność Baire'a i są mierzalne w sensie Lebesgue'a,
każdy zbiór klasy $\Sigma^1_1$ jest albo przeliczalny, albo zawiera podzbiór doskonały,
każdy $\Sigma^1_1$ podzbiór przestrzeni $[ω] ω$ nieskończonych podzbiorów $ω$ ma własność Ramsey'a,
jeśli wszystkie zbiory klasy $\Sigma^1_2$ są mierzalne, to wszystkie zbiory klasy $\Sigma^1_2$ mają własność Baire'a,
jeśli założymy aksjomat determinacji rzutowej PD, to wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire'a i są mierzalne w sensie Lebesgue'a oraz każdy nieprzeliczlany zbiór rzutowy zawiera podzbiór doskonały,
jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to stnieje $\Delta^1_2$ podzbiór prostej, który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i który nie ma własności Baire'a, oraz istnieje nieprzeliczalny zbiór klasy $\Pi^1_1$ , który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.

Dla szerszego przeglądu tej tematyki odsyłamy czytelnika do monografii Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha^[5].

[edytuj] Definiowalne relacje równoważności

W ostatnich latach kluczowe badania dotyczą definiowalnych relacji równoważności oraz działań grup (przede wszystkim grup polskich, tzn. grup topologicznych będących przestrzeniami polskimi)^[6].

[edytuj] Definicje

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami polskimi.

Relacja E na przestrzeni X jest borelowska (analityczna, itd.), jeśli jest ona borelowskim (analitrycznym, itd) podzbiorem przestrzeni $X\times X$ .
Przypuśćmy, że E jest relacją równoważności na X, a F jest relacją równoważności na Y. Powiemy, że relacja E jest borelowsko redukowalna do F, jeśli istnieje funkkcja borelowska $f:X\longrightarrow Y$ taka, że

$\Big(\forall x,y\in X\Big)\Big(x\;E\;y\ \ \Leftrightarrow\ \ f(x)\;F\;f(y)\Big)$ .

W powyższej sytuacji piszemy $E\leq_B F$ .

Relacja borelowskiej redukcji $\leq_B$ jest konceptualnie bliska pojęciu bycia mocy nie większej niż. Jeśli $E\leq_B F$ , to mamy "świadka" na nierówność $|X/E|\leq |Y/F|$ , który może być "podniesiony" do borelowskiego odwzorowanika z X do Y.

Jeśli $E\leq_B F$ oraz $F\leq_B E$ , to powiemy, że przestrzenie ilorazowe $X / E$ i $Y / F$ mają tę samą moc borelowską . Piszemy wówczas $E ˜ B F$ .

[edytuj] Podstawowe własności

Przy badaniu definiowalnych relacji równoważności utożsamia się każdą przestrzeń polską z relacją równości określonej na tej przestrzeni. Zwyczajowo też używa się symbolu $E 0$ na oznaczenie następującej relacji na liczbach rzeczywistych:

$x\; E_0\; y$ wtedy i tylko wtedy, gdy różnica

x - y

jest liczbą wymierną.

${\mathbb R}<_B E_0$ (tzn, ${\mathbb R}\leq _B E_0$ , ale $E_0\not\leq_B {\mathbb R}$ ).
Jeśli E jest relacją równoważności klasy $\Pi^1_1$ , to

albo $E\leq_B {\mathbb N}$ lub ${\mathbb R}\leq_B E$

Jeśli E jest borelowską relacją równoważności, to

albo $E\leq_B {\mathbb R}$ lub $E_0\leq_B E$

Dla każdej borelowskiej relacji równoważności E istnieje borelowska relacja równoważności F taka, że $E < B F$ .
Wśród borelowskich relacji równoważności o przeliczalnych klasach abstrakcji istnieje element $\leq_B$ -największy. W tej samej rodzinie relacji można wybrać nieprzeliczalnie wiele parami $\leq_B$ -nieporównywalnych relacji.

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

↑ Yiannis N Moschovakis: Descriptive set theory. Amsterdam-New York: North-Holland Publishing Co., 1980, seria: Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 100. ISBN 0-444-85305-7.
↑ Alexander S Kechris: Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.
↑ Andrzej Kuratowski, Mostowski: Teoria mnogości: wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Wyd. 3. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Monografie Matematyczne, 27.
↑ Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski: Podstawy teorii mnogości. Warszawa: 1978.
↑ Tomek Bartoszyński, Haim Judah: Set theory. On the structure of the real line. Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., 1995. ISBN 1-56881-044-X.
↑ Alexander S Kechris. New directions in descriptive set theory. Bull. Symbolic Logic. 5: 161-174 (1999).

Kategoria: Teoria mnogości

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zima przyszła wcześnie - Polska pod śniegiem

Śnieg spadł niemal w całym kraju. Po nocnych opadach na Warmii i Mazurach panują trudne warunki jazdy. Pomimo bezustannej pracy 40 pługów i piaskarek drogi pozostają niebezpieczne. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby nad Bałtykiem może spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Opisowa teoria mnogości

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Klasy zbiorów punktowych w przestrzeniach polskich

[edytuj] Wybrane własności klas punktowych

[edytuj] Regularność klas punktowych

[edytuj] Definiowalne relacje równoważności

[edytuj] Definicje

[edytuj] Podstawowe własności

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach