Otoczenie (matematyka)

Z Wikipedii

Otoczenie punktu – w topologii oznacza dowolny zbiór, który zawiera zbiór otwarty zawierający dany punkt.

Dokładniej, jeśli x ∈ X, gdzie X jest przestrzenią topologiczną, to zbiór V jest otoczeniem punktu x, gdy istnieje zbiór otwarty U ⊆ V taki, że x ∈ U.

Zauważmy, że tak rozumiane otoczenie nie musi być zbiorem otwartym. Istotne jest tylko, by zawierało pewien zbiór otwarty zawierający dany punkt. W szczególności, otoczenie może być zbiorem domkniętym, zwartym, itd.

Uwaga: Należy zwracać uwagę na konwencje stosowane przez różnych autorów. Niektórzy pod pojęciem otoczenia punktu rozumieją wyłącznie zbiór otwarty zawierający dany punkt. W stosowanej tu terminologii otoczenie takie nazywałoby się otoczeniem otwartym.

Spis treści 1 Przestrzeń metryczna 2 System otoczeń a topologia 3 Otoczenie a sąsiedztwo 4 Przykłady

Jeżeli S jest podzbiorem X, pod pojęciem otoczenia zbioru S rozumiemy zbiór zawierający zbiór otwarty, który zawiera S. W szczególności, otoczenie zbioru jest otoczeniem każdego punktu tego zbioru.

Rodzina wszystkich otoczeń danego punktu nazywana jest bazą otoczeń (punktu).

[edytuj] Przestrzeń metryczna

W przestrzeni metrycznej X z metryką d otoczenie punktu można równoważnie określić następująco: V jest otoczeniem punktu p jeśli istnieje kula otwarta o środku w punkcie p i promieniu r

zawarta w zbiorze V.

Otoczeniem jednostajnym zbioru S w przestrzeni metrycznej nazwiemy zbiór V o tej własności, że istnieje liczba r > 0 taka, że dla każdego p ∈ S kula otwarta

zawarta jest w zbiorze V. Innymi słowy, jest to zbiór będący sumą wszystkich kul o ustalonym promieniu i środkach w punktach zbioru S.

[edytuj] System otoczeń a topologia

Jeżeli dla każdego punktu x zbioru X dana jest pewna rodzina B(x) podzbiorów zbioru X spełniająca poniższe warunki:

1. dla dowolnego U ∈ B(x), x ∈ U
2. dla dowolnego U ∈ B(x) istnieje V ∈ B(x) takie, że dla dowolnego y ∈ V, U ∈ B(y),

to fakt ten można wykorzystać do określenia topologii w zbiorze X. Wystarczy zdefiniować zbiór otwarty jako taki, który wraz z każdym swoim punktem x zawiera również pewien zbiór z rodziny B(x).

[edytuj] Otoczenie a sąsiedztwo

W klasycznej analizie matematycznej korzysta się czasem z pojęcia sąsiedztwa punktu, które oznacza otoczenie punktu z wyłączeniem jego samego. Zatem, jeżeli V jest otoczeniem punktu x, to zbiór V_x = V \ {x} jest sąsiedztwem.

[edytuj] Przykłady

W zbiorze liczb rzeczywistych z topologią euklidesową otoczeniem otwartym punktu x jest dowolny przedział otwarty (a,b) zawierający x (czyli taki, że a<x<b). Sąsiedztwem jest wówczas zbiór (a,b)\{x} = (a, x) ∪ (x, b).

Przykładem otoczenia otwartego punktu na płaszczyźnie euklidesowej jest koło bez brzegu o środku w tym punkcie. Odpowiednim sąsiedztwem jest koło bez środka (czyli bez danego punktu).

Kurski: widziałem ministra nawalonego jak Messerschmitt

Zdaniem Jacka Kurskiego Elżbieta Kruk padła ofiarą panującej w mediach niechęci do PiS. Na antenie Radia ZET poseł bronił swojej partyjnej koleżanki i opowiadał o ministrze rządu Donalda Tuska, który pijany przyszedł do studia telewizji Polsat.

Autobus wpadł do rowu, 12 rannych

Na drodze wojewódzkiej nr 865 Jarosław - Lubaczów autobus wpadł do rowu w miejscowości Makowisko (Podkarpackie). 12 osób - uczestników wycieczki - trafiło do szpitala. Na razie nie wiadomo, jak poważne odnieśli obrażenia.

Zachodniopomorskie: 10 tys. osób bez prądu

W Zachodniopomorskiem porywisty wiatr i śnieżyce uszkodziły 250 stacji transformatorowych. Ok. 10 tys. mieszkańców nie ma prądu.

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.