Parabola (matematyka)

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Parabola

Parabola to krzywa stożkowa utworzona przez przecięcie stożka płaszczyzną równoległą do tworzącej stożka.

Parabolę można też zdefiniować jako miejsce geometryczne punktów równo odległych od prostej (zwanej kierownicą paraboli) i pewnego punktu (ogniska paraboli) nie leżącego na tej prostej.

[edytuj] Definicje i właściwości

W kartezjańskim układzie współrzędnych, parabola z osią symetrii równoległą do osi y, wierzchołkiem o współrzędnych (h, k), ogniskiem $(h, k + p)$ , i kierownicą $y = k - p$ opisana jest równaniem:

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \,$

lub

$(x - h)^2 = 2d(y - k) \,$

gdzie $d$ jest odległością pomiędzy ogniskiem a kierownicą.

Parabola ma jedną oś symetrii, która przechodzi przez ognisko i wierzchołek i jest prostopadła do kierownicy paraboli.

Tor lotu ciała poruszajacego się bez oporu powietrza, ukośnie do linii sił jednorodnego pola grawitacyjnego jest parabolą. Po uwzględnieniu oporu powietrza otrzymujemy balistyczny tor lotu pocisku. Lustra o przekroju paraboli nie posiadają wady aberracji sferycznej przy odbijaniu dostatecznie dalekich obiektów (równoległe promienie światła po odbiciu od lustra skupiają się w ognisku paraboli).

Właściwości odbijania promieni oraz ognisko (niebieskie) i kierownica (zielona)

[edytuj] Równania

[edytuj] Współrzedne kartezjańskie

Pionowa oś symetrii:

$(x - h)^2 = 4p(y - k) \quad$

Pozioma oś symetrii:

$(y - h)^2 = 4p(x - k) \quad$

Równanie kwadratowe (pionowa oś symetrii):

$y = ax^2 + bx + c; \ \ a = \frac{1}{4p}; \ \ b = \frac{-h}{2p}; \ \ c = \frac{h^2}{4p} + k$

Równanie kwadratowe (pozioma oś symetrii):

x = a y 2 + b y + c

a, b, i c tak jak powyżej.

[edytuj] Parametryczne

$x = 2pt + h \,$

$y = pt^2 + k \,$

[edytuj] Współrzędne biegunowe

We współrzędnych biegunowych, parabola z ogniskiem w punkcie (0,0) i wierzchołkiem leżącym na ujemnej części osi X (pozioma oś symetrii) opisana jest równaniem:

$r (1 - \cos \theta) = l \,$

[edytuj] Ognisko

Parabola o wierzchołku w punkcie $(0,0)$ i pionowej osi symetrii, której punkty spełniają równanie

y = a x 2

ma ognisko w punkcie $\left(0, {1 \over 4 a }\right)$ .

Wszystkie promienie światła padające na parabolę z góry, równolegle do osi symetrii po odbiciu się od niej skupiają się właśnie w ognisku.

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Krzywe

Marcinkiewicz na Platformie do Strasburga

Były premier Kazimierz Marcinkiewicz na pierwszym miejscu warszawskiej listy PO do Parlamentu Europejskiego. Taki wariant rozważają liderzy partii - dowiedziała się „Gazeta”

Dalajlama w Polsce

Dziś początek wizyty XIV Dalajlamy, duchowego i politycznego przywódcy Tybetańczyków, laureata Pokojowej Nagrody Nobla i jednego z największych żyjących autorytetów moralnych.

Człowiek, mnich, dalajlama

Dla Zachodu XIV Dalajlama Tenzjin Gjaco jest laureatem Pokojowej Nagrody Nobla, współczesnym Gandhim, moralnym autorytetem konsekwentnie głoszącym ideę miłości, szacunku i odpowiedzialności za wszystkie żywe istoty i za całą Ziemię.

"Żeby móc tak mówić, trzeba być nieskazitelnym bohaterem"

- Żeby używać takich słów, trzeba mieć autorytet, który mają postacie pomnikowe. Trzeba być nieskazitelnym bohaterem - tak Radosław Sikorski skomentował wypowiedź prezesa PiS. Jarosław Kaczyński stwierdził dziś, że "13-letnie dziewczynki wytrzymywały tortury gestapo, a Niesiołowski sypał".

Lech Wałęsa o UE: Ja, rewolucjonista trochę tu porozrabiam

W Brukseli odbyło się dziś pierwsze spotkanie grupy refleksji w sprawie przyszłości Unii Europejskiej. Uczestniczący w nim Lech Wałęsa zapowiedział, że jako "stary rewolucjonista" będzie zadawał prowokacyjne pytania i "jeśli go nie wyrzucą, to trochę porozrabia".

Dalajlama: Uczę się polskiej determinacji i siły woli

Określenie "Polska" towarzyszy mi od dzieciństwa; kiedy tylko tu jestem uczę się polskiej determinacji i siły woli - mówił w wywiadzie dla radiowej "Jedynki" Dalajlama XIV. Jutro duchowy przywódca Tybetańczyków przyjeżdża do Polski.

Bondaryk: Otrzymałem od PTC ok. 450 tys. zł

Szef Agencji Bezpieczeństwa Wewnętrznego Krzysztof Bondaryk wydał w czwartek oświadczenie. Poinformował w nim, że wysokość uzyskanych przez niego świadczeń od spółki PTC z tytułu zakazu konkurencji, nagrody rocznej i ekwiwalentu za urlop wyniosła ok. 450 tys. zł.

Klich: Jutro decyzja w sprawie unikających poboru

- Jutro będzie wydana odpowiednia decyzja, która rozwiąże ten problem - odpowiedział minister obrony Bogdan Klich na pytanie co, w związku z zakończeniem poboru do wojska stanie się z osobami unikającymi służby wojskowej.

Radni PO chcą zmienić nazwę pl. Defilad

Skansen PRL-u w centrum Warszawy ma szansę zmienić nazwę na bardziej romantyczną. Radni Platformy Obywatelskiej chcą przemianować pl. Defilad na pl. Fryderyka Chopina. Klub PiS jest tym pomysłem zachwycony.

Zuchwały napad na bank

Dwóch mężczyzn w kominiarkach w środku dnia sterroryzowało kasjerkę banku i uciekło z pieniędzmi.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Parabola (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicje i właściwości

[edytuj] Równania

[edytuj] Współrzedne kartezjańskie

[edytuj] Parametryczne

[edytuj] Współrzędne biegunowe

[edytuj] Ognisko

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach