Podpierścień

Z Wikipedii

Podzbiór $S$ pierścienia $P$ nazywamy jego podpierścieniem, jeżeli jest on pierścieniem ze względu na te same działania, co pierścień $P$ .

Spis treści

1 Definicja formalna
2 Własności
3 Przykłady
4 Przypisy
5 Bibliografia

[edytuj] Definicja formalna

Niech:

$(P,+,\cdot)$ - pierścień,
$S\subseteq P$ .

$S$ jest podpierścieniem pierścienia $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki:

$\forall a,b\in S: (a+b\in S \land a\cdot b\in S)$ ,
Pierścieniem jest struktura $(S,+|_S,\cdot |_S)$ , gdzie $+|_S, \cdot |_S$ oznaczają obcięcia działań $+,\cdot$ do zbioru $S$ (czyli: $+|_S:S\times S\to S, a+|_Sb=a+b$ oraz $\cdot |_S:S \times S\to S, a\cdot |_Sb=a\cdot b$ dla dowolnych $a, b\in S$ ).

Jeżeli $P$ jest ciałem oraz $S$ jest ciałem, to $S$ nazywamy podciałem ciała $P$ .

[edytuj] Własności

$S \subseteq P$ jest podpierścieniem pierścienia $P$ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące trzy warunki^[1]:

$S \neq \emptyset$ ,
$\forall a,b\in S: a+(-b)\in S$ ,
$\forall a,b\in S: a\cdot b\in S$ .

Zachodzą ponadto następujące twierdzenia:

Podpierścień pierścienia przemiennego jest pierścieniem przemiennym.
Podpierścień pierścienia bez dzielników zera jest pierścieniem bez dzielników zera.
Element neutralny dodawania podpierścienia S pierścienia P jest równy elementowi neutralnemu dodawania pierścienia P.
Dowolny ideał J pierścienia P jest podpierścieniem P.

[edytuj] Przykłady

Pierścień liczb całkowitych Z jest podpierścieniem ciała liczb wymiernych Q. Ciało Q jest podciałem ciała liczb rzeczywistych R.
Pierścień liczb całkowitych parzystych Z_p jest podpierścieniem pierścienia liczb całkowitych Z. Zauważmy, że Z jest pierścieniem z jedynką, natomiast Z_p jedynki nie posiada.

Przypisy

↑ Atlas matematyki, str. 85

[edytuj] Bibliografia

Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka. ISBN 83-7469-189-1.

Kategoria: Teoria pierścieni

Prezydent wbija klin między Tuska i Pawlaka

Problemy w koalicji. PO przekłada głosowanie nad prezydenckim wetem do ustawy o Krajowej Szkole Sądownictwa i Prokuratury, bo PSL bierze stronę Lecha Kaczyńskiego

Mniejszy klub PiS

Poseł Andrzej Walkowiak opuścił klub PiS i przeszedł do założonego przez b. posłów PiS koła Polska XXI.

Sześciolatki do szkoły? Stop!

Sześciolatki pójdą obowiązkowo do szkół dopiero w 2012 r. A miały już w 2009 r. MEN się upiera, że to lifting reformy

Wywozili dopalacze

Z centralnego magazynu firmy zaopatrującej sklepy z tzw. dopalaczami próbowano wczoraj wywieźć cały towar. Interweniowała policja.

Jedzie Trójka do prezesa

Radiowa ”Jedynka” już nie chce jeździć do Jarosława Kaczyńskiego nagrywać wywiadów. Zaprosiła prezesa do rozmowy na żywo. A tego prezes nie lubi

BBN krytykuje zmiany w armii

Mam nadzieję, że prezydent zaakceptuje mój projekt reformy dowodzenia siłami zbrojnym - mówił wczoraj minister obrony Bogdan Klich. - Ten projekt to głupota - odpowiada Witold Waszczykowski z prezydenckiego BBN.

Nuncjusz Kowalczyk nadal lustrowany

Abp Józef Kowalczyk przekazał oficerowi wywiadu informację o różnicy zdań hierarchów na temat pielgrzymki Jana Pawła II do Polski w 1983 r. - twierdzi wczorajsza „Rzeczpospolita”.

Akta Pruszkowa na ulicy

Ponad cztery tysiące dokumentów z trzech prokuratur - w Pruszkowie, Warszawie i Rzeszowie - leżało na chodniku w podwarszawskim Komorowie.

Pożar kamienicy przy ulicy Struga 32

Około 30 osób ewakuowano z dwóch budynków przy radomskiej ulicy Struga. Przyczyną pożaru był prawdopodobnie wybuch butli z gazem.

Skoczył do Wisły. Zmarł z wyziębienia

Policjanci i strażacy wyciągnęli z Wisły mężczyznę, który skoczył z Mostu Łazienkowskiego. Wyziębiony, w ciężkim stanie odwieziony został do szpitala. Zmarł po godzinie 21.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Podpierścień

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja formalna

[edytuj] Własności

[edytuj] Przykłady

Przypisy

[edytuj] Bibliografia

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach