Pole powierzchni

Z Wikipedii

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.

Spis treści

1 Konstrukcja pojęcia pola
2 Definicja szkolna
3 Pole pod krzywą
4 Pola typowych figur
5 Zobacz też

[edytuj] Konstrukcja pojęcia pola

[edytuj] I Definicja

Zobacz więcej w osobnych artykułach: Miara Jordana, Miara Lebesgue'a, Wymiar pudełkowy.

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Do weryfikacji: definicja poniżej daje tylko zewnętrzną miarę Jordana; granica ta zawsze istnieje i nie w tym problem - problem w tym aby była równa mierze wewnętrznej

Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:

Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach $a 1$ .
Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez $n 1$ .

Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz to mniejszych bokach $a_1>a_2>a_3>\ldots$ , itd. uzyskujemy ciąg liczb $n 1, n 2,...$ .
Polem powierzchni nazywamy granicę:

$S=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^2$

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę - choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch nie nachodzących na siebie figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.

[edytuj] II Definicja

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Do weryfikacji: ja mogę być już całkiem druged, ale to co jest poniżej wydaje się być dość podejrzane

Sposób ten jest nieco mniej abstrakcyjny od poprzedniego i jednocześnie może być używany do obliczania pól powierzchni w przestrzeni trójwymiarowej.
Algorytm obliczania pola S powierzchni $σ$ :

1. Weźmy dowolna liczbę r>0.

2. Niech

V (σ, r)

będzie objetoscią sumy (NIE sumą objętości) wszystkich kul o środkach należących do powierzchni

σ

i promieniu r.

3. Jeżeli istnieje granica:

$S=\lim_{r \to 0}{V(\sigma,r) \over 2r}$

to liczba S jest polem powierzchni

σ

[edytuj] Problem wyznaczania pól dla wszystkich figur

Zbiory

$\{(x,y):0<x<1,\ 0<y<1,\ x,y$ są wymierne

}

oraz

$\{(x,y): 0<x<1,\ 0<y<1,\ x$ jest niewymierny lub y jest niewymierny

}

są rozłączne i oba mają zewnętrzną miarę Jordana równą 1. Suma tych dwóch figur (czyli wnętrze kwadratu) ma pole równe 1, skąd możemy wnioskować że pola naszych figur nie można zdefiniować używając podejścia Jordana.

Istnienie nietrywialnej funkcji, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dowolnego ciągu przeliczalnego rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie jest niedowodliwe w standardowym systemie aksjomatów ZFC.
Zbiór Vitalego i zbiór Bernsteina (istniejące przy założeniu aksjomatu wyboru) są niemierzalne w sensie Lebesgue'a.
Prz założeniu aksjomatu wyboru istnieje skończenie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory przestrzeni.
Przy założeniu AD, wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowych są mierzalne w sensie Lebesgue'a. * Jeśli istnieje liczba mierzalna, to jestr niesprzeczne że continuum jest rzeczywiście mierzalne i że istnieje miara na płaszczyźnie mierząca wszystkie jej podzbiory.

[edytuj] Definicja szkolna

Definicja używana w gimnazjach i szkołach średnich.

Obieramy kwadrat o boku 1.
Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.

Definicja ta tak naprawdę podaje tylko dolne oszacowanie pola powierzchni danej figury, którego dokładność zależy od kształtu figury.

[edytuj] Pole pod krzywą

Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b, a≤b jest równe całce oznaczonej

$S=\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$

[edytuj] Pola typowych figur

Równoległobok o bokach a i b oraz kącie α między nimi:
- Prostokąt o bokach a i b: $S=ab\,$
- Kwadrat o boku a: $S=a^2\,$
pole obszaru ograniczonego przez elipsę o półosiach a i b: $S=\pi ab\,$
Koło o promieniu r: $S=\pi r^2\,$
Wielokąt foremny (r – promień okręgu wpisanego w wielokąt, R – promień okręgu opisanego, a – bok wielokąta):

$S=\frac{nar}{2}=nr^2\,\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}=\frac{n}{2}R^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{n}{4}a^2\,\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}$

Trójkąt równoboczny:

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Geometria

Ukryta kategoria: Strony do weryfikacji

Wstydliwa choroba medyków

- Ojciec szef, syn podwładny? To dobre w prywatnej firmie, a nie w szkole wyższej - mówią profesorowie Uniwersytetu Medycznego w Łodzi. Publiczna uczelnia nie tylko przyznaje, że ma problem z nepotyzmem, ale i zapowiada, że będzie z nim walczyć.

Obywatelu, wytnij swój las!

Ponad 60-metrowe graffiti namawiające do wycinania beskidzkich lasów świerkowych malowali w Warszawie w weekend ekolodzy. Beskidom grozi katastrofa ekologiczna

„Więzienia CIA” mogły być przykrywką?

Kiejkuty są najmniej odpowiednim miejscem do zachowania tajemnicy. Standardowo satelita szpiegowski robi tam co 15 godzin zdjęcie. Tak szczegółowe, że widać na nim, jakiej rasy jest pies przy budzie

Lewicowcy, łączcie się

SLD chce jednej lewicowej listy do europarlamentu i referendum w sprawie tarczy antyrakietowej

Koalicja działa, a Sawicki nie chce konkurować z Pawlakiem

- Nie jesteśmy już zaczadzeni PSL-em jak na początku, gdy myśleliśmy: Ale oni się zmienili, są tacy nowocześni. Okazało się, że tak bardzo się nie zmienili. Ale koalicja trwa.

Radę ludowcy widzą ogromną

PSL zgłosi własny projekt ustawy o RTV. Zostanie przedstawiony teraz, bo forsowana przez PO zmiana ustawy o mediach publicznych padła w lipcu po prezydenckim wecie.

„Orliki” dla poszkodowanych

Przebaczamy i prosimy o przebaczenie

Polacy i Niemcy muszą sobie nawzajem przebaczyć - mówił do Polaków i Niemców, byłych więźniów obozu w Potulicach pastor Klaus Zimmermann

Biskup mu ufa, więc dalej będzie uczył

Matki specjalnie posyłają dzieci do szkoły, w której religii uczy ksiądz Roman K. Karta nauczyciela dopuszcza zawieszenie nauczyciela, który ma prokuratorskie zarzuty, ale duchowy przywódca byłych betanek zwolniony nie będzie

MSZ: przestrzegamy naród niemiecki przed rewizjonizmem Steinbach

Przestrzegamy zaprzyjaźniony naród niemiecki przed rewizjonizmem, głoszonym przez szefową Związku Wypędzonych (BdV) Eriką Steinbach - w ten sposób rzecznik MSZ Piotr Paszkowski skomentował sobotnie wystąpienie Steinbach.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Pole powierzchni

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Konstrukcja pojęcia pola

[edytuj] I Definicja

[edytuj] II Definicja

[edytuj] Problem wyznaczania pól dla wszystkich figur

[edytuj] Definicja szkolna

[edytuj] Pole pod krzywą

[edytuj] Pola typowych figur

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach