Przestrzeń Baire'a

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Przestrzeń Baire'a to termin w topologii i teorii mnogości, który jest używany w dwóch znaczeniach. Może on odnosić się do pewnej własności przestrzeni topologicznych, ale jest to też nazwa szczególnego przykładu takiej przestrzeni.

W obydwóch przypadkach, ta nazwa została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire'a.

Spis treści

1 Własność przestrzeni topologicznych
2 Szczególna przestrzeń topologiczna
- 2.1 Definicja
- 2.2 Własności i zastosowanie
3 Zobacz też

[edytuj] Własność przestrzeni topologicznych

[edytuj] Definicja

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że $X$ jest przestrzenią Baire'a jeśli przekrój każdej przeliczalnej rodziny otwartych gęstych podzbiorów $X$ jest gęstym podzbiorem $X$ .

Niektórzy autorzy używają zwrotu $X$ ma własność Baire'a (zamiast " $X$ jest przestrzenią Baire'a"). Należy jednak zwrócić uwagę, że podobna terminologia jest używana dla określenia własności Baire'a podzbiorów przestrzeni.

[edytuj] Przykłady

Prosta rzeczywista ${\mathbb R}$ i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych ${\mathbb R}^n$ jest przestrzenią Baire'a.
Każda przestrzeń dyskretna jest przestrzenią Baire'a.
Każda przestrzeń polska i ogólniej każda przestrzeń zupełna jest przestrzenią Baire'a.
Każda lokalnie zwarta przestrzeń T₂ jest przestrzenią Baire'a.
Przestrzenie zupełne w sensie Čecha są przestrzeniami Baire'a.

[edytuj] Własności

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną. Wówczas następujące warunki są równoważne:

$X$ jest przestrzenią Baire'a,
żaden otwarty niepusty podzbiór $X$ nie jest pierwszej kategorii,
wnętrze sumy przeliczalnie wielu zbiorów nigdziegęstych jest puste,
dla każdych domkniętych zbiorów $F_1,F_2,F_3,\ldots\subseteq X$ , jeśli ${\rm int}\big(\bigcup\limits_{i=1}^\infty F_i\big)\neq\emptyset$ , to ${\rm int}(F_i)\neq\emptyset$ dla pewnego $i$ .

[edytuj] Szczególna przestrzeń topologiczna

[edytuj] Definicja

Nazwa przestrzeń Baire'a jest też używana dla określenia przestrzeni wszystkich ciągów nieskończonych o wyrazach w liczbach naturalnych. Niech ${\mathbb N}^{\mathbb N}$ będzie zbiorem wszystkich ciągów liczb naturalnych, czyli zbiorem wszystkich funkcji z ${\mathbb N}$ w ${\mathbb N}$ . Zbiór ten może być traktowany jako produkt $\prod\limits_{i=1}^\infty {\mathbb N}$ przeliczalnie wielu kopii zbioru ${\mathbb N}$ . Jeśli na zbiorze liczb naturalnych wprowadzimy topologię przestrzeni dyskretnej, to wtedy na zbiorze $\prod\limits_{i=1}^\infty {\mathbb N}$ możemy wprowadzić topologię produktową $τ B$ . Przestrzeń topologiczna $({\mathbb N}^{\mathbb N},\tau_B)$ jest nazywana przestrzenią Baire'a.

W teorii mnogości, przestrzeń Baire'a jest często oznaczana przez $ω ω$ (jako że zbiór liczb naturalnych jest tam oznaczany przez $ω$ ). W opisowej teorii mnogości zwyczajowo przestrzeń Baire'a jest oznaczana przez ${\mathcal N}$ . To ostatnie oznaczenie będzie używane poniżej.

[edytuj] Własności i zastosowanie

Przestrzeń Baire'a jest przestrzenią polską. Odpowiednia metryka może być zdefiniowana następująco. Dla różnych $f,g\in {\mathcal N}$ kładziemy $n(f,g)=\min\{n\in {\mathbb N}:f(n)\neq g(n)\}$ . Definiujemy

$d (f, g) = 0$ jeśli $f = g$ oraz $d (f, g) = 2 - n (f, g)$ w przeciwnym wypadku.

Łatwo można sprawdzić że

d

jest metryką zupełną na zbiorze ${\mathbb N}^{\mathbb N}$ generującą topologię

τ B

${\mathcal N}\times{\mathcal N}$ jest homeomorficzne z ${\mathcal N}$ . I ogólniej, produkt przeliczalnie wielu kopii przestrzeni ${\mathcal N}$ jest homeomorficzny z ${\mathcal N}$ .
Przestrzeń ${\mathcal N}$ jest homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych (wyposażonych w topologię podprzestrzeni ${\mathbb R}$ ).
Przestrzeń ${\mathcal N}$ jest jedną z przestrzeni standardowo używaną w opisowej teorii mnogości, m.in. przy definiowaniu hierarchii zbiorów rzutowych.
W dodatku do struktury topologicznej, ${\mathcal N}$ ma naturalną strukturę praporządku. Określmy relację $\leq^*$ na ${\mathcal N}$ przez

$f\leq^* g$ wtedy i tylko wtedy gdy $\big(\exists N\in {\mathbb N}\big)\big(\forall n\geq N\big)(f(n)\leq g(n)\big)$

Wówczas $\leq^*$ jest praporządkiem (ale nie porządkiem częściowym). Szereg współczynników kardynalnych studiowanych w teorii mnogości związanych z tym praporządkiem ma też znaczenie dla struktury topologicznej ${\mathcal N}$ . Np liczba dominująca ${\mathfrak d}$ występująca w diagramie Cichonia jest minimalną liczbą zwartych podzbiorów ${\mathcal N}$ potrzebnych do pokrycia całej przestrzeni.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Teoria mnogości • Topologia

Lądowanie z turbulencjami: Lech Kaczyński przybył do Seulu

Prezydent RP Lech Kaczyński przybył około godz. 5.50 rano czasu polskiego do Seulu. Wizyta w Korei Południowej jest ostatnim etapem podróży prezydenta po Azji.

Marcinkiewicz na Platformie do Strasburga

Były premier Kazimierz Marcinkiewicz na pierwszym miejscu warszawskiej listy PO do Parlamentu Europejskiego. Taki wariant rozważają liderzy partii - dowiedziała się „Gazeta”

Dalajlama w Polsce

Dziś początek wizyty XIV Dalajlamy, duchowego i politycznego przywódcy Tybetańczyków, laureata Pokojowej Nagrody Nobla i jednego z największych żyjących autorytetów moralnych.

Człowiek, mnich, dalajlama

Dla Zachodu XIV Dalajlama Tenzjin Gjaco jest laureatem Pokojowej Nagrody Nobla, współczesnym Gandhim, moralnym autorytetem konsekwentnie głoszącym ideę miłości, szacunku i odpowiedzialności za wszystkie żywe istoty i za całą Ziemię.

"Żeby móc tak mówić, trzeba być nieskazitelnym bohaterem"

- Żeby używać takich słów, trzeba mieć autorytet, który mają postacie pomnikowe. Trzeba być nieskazitelnym bohaterem - tak Radosław Sikorski skomentował wypowiedź prezesa PiS. Jarosław Kaczyński stwierdził dziś, że "13-letnie dziewczynki wytrzymywały tortury gestapo, a Niesiołowski sypał".

Lech Wałęsa o UE: Ja, rewolucjonista trochę tu porozrabiam

W Brukseli odbyło się dziś pierwsze spotkanie grupy refleksji w sprawie przyszłości Unii Europejskiej. Uczestniczący w nim Lech Wałęsa zapowiedział, że jako "stary rewolucjonista" będzie zadawał prowokacyjne pytania i "jeśli go nie wyrzucą, to trochę porozrabia".

Dalajlama: Uczę się polskiej determinacji i siły woli

Określenie "Polska" towarzyszy mi od dzieciństwa; kiedy tylko tu jestem uczę się polskiej determinacji i siły woli - mówił w wywiadzie dla radiowej "Jedynki" Dalajlama XIV. Jutro duchowy przywódca Tybetańczyków przyjeżdża do Polski.

Bondaryk: Otrzymałem od PTC ok. 450 tys. zł

Szef Agencji Bezpieczeństwa Wewnętrznego Krzysztof Bondaryk wydał w czwartek oświadczenie. Poinformował w nim, że wysokość uzyskanych przez niego świadczeń od spółki PTC z tytułu zakazu konkurencji, nagrody rocznej i ekwiwalentu za urlop wyniosła ok. 450 tys. zł.

Radni PO chcą zmienić nazwę pl. Defilad

Skansen PRL-u w centrum Warszawy ma szansę zmienić nazwę na bardziej romantyczną. Radni Platformy Obywatelskiej chcą przemianować pl. Defilad na pl. Fryderyka Chopina. Klub PiS jest tym pomysłem zachwycony.

Zuchwały napad na bank

Dwóch mężczyzn w kominiarkach w środku dnia sterroryzowało kasjerkę banku i uciekło z pieniędzmi.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Przestrzeń Baire'a

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Własność przestrzeni topologicznych

[edytuj] Definicja

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Własności

[edytuj] Szczególna przestrzeń topologiczna

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności i zastosowanie

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach