Rotacja

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Ten artykuł dotyczy operatora różniczkowego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy działający na pole wektorowe $\bold F$ , tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez $\operatorname{rot}$ lub $\operatorname{curl}$ (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako $d F$ .

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole posiadające potencjał jest polem bezwirowym).

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Notacja macierzowa
- 1.2 Notacja Einsteina
2 Własności rotacji
3 Zobacz też

[edytuj] Definicja formalna

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla $\nabla$ i wektora $\bold F$ :

$\mathbf B = \operatorname{rot} (\mathbf F)= \nabla \times \mathbf F$ .

W kartezjańskim układzie współrzędnych $F = [F x, F y, F z]$ mamy więc

$\begin{bmatrix} {\partial \over \partial x} \\ \\ {\partial \over \partial y} \\ \\ {\partial \over \partial z} \end{bmatrix} \times F= \begin{bmatrix} {\partial F_z \over \partial y} - {\partial F_y \over \partial z} \\ \\ {\partial F_x \over \partial z} - {\partial F_z \over \partial x} \\ \\ {\partial F_y \over \partial x} - {\partial F_x \over \partial y} \end{bmatrix}$ .

[edytuj] Notacja macierzowa

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

$\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ {\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$ ,

gdzie $\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ są wersorami osi $x, y, z$ układu współrzędnych.

[edytuj] Notacja Einsteina

W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Lewiego-Civity jest zapisywana jako:

$(\nabla \times F)_k = \epsilon_{k\ell m} \partial_\ell F_m$

[edytuj] Własności rotacji

Oznaczając przez $F, G$ pola wektorowe, przez $f$ pole skalarne dla $a, b \in \mathbb R$ zachodzą następujące własności:

rotacja jest operatorem liniowym dla liczb rzeczywistych

$\nabla\times \left(a\mathbf F + b\mathbf G \right) = a\nabla \times \mathbf F + b\nabla \times \mathbf G$ ,

rotacja gradientu jest zerowa

$\nabla \times \nabla f = \mathbf 0$ ,

rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:

$\nabla\times \left(f \mathbf F \right) = \nabla f \times \mathbf F +f \nabla\times\mathbf F$ ,

rotacja z iloczynu wektorowego dwóch pól wektorowych:

$\nabla \times \left( \mathbf F \times \mathbf G \right) = \left( \mathbf G \cdot \nabla \right)\mathbf F - \left( \mathbf F \cdot \nabla \right) \mathbf G + \mathbf F \left(\nabla \cdot \mathbf G \right) - \mathbf G \left( \nabla \cdot \mathbf F \right)$ ,

rotacja z rotacji pola wektorowego $F$ :

$\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf F \right) = \nabla \left( \nabla \cdot \mathbf F \right) - \Delta \mathbf F$ .

każde pole o zerowej rotacji ( $\nabla \times F = 0$ ) można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że $F = - \nabla V$ ); zob. twierdzenie Helmholtza.

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

p • d • e

Operatory różniczkowe

dywergencja • gradient • nabla • dalambercjan • laplasjan • rotacja

Kategorie: Geometria analityczna • Geometria różniczkowa

Górnik zginął w "Wujku"

47-letni górnik - kombajnista zginął w katowickiej kopalni "Wujek" - podała w środę rzeczniczka Wyższego Urzędu Górniczego Edyta Tomaszewska.

Strażnicy miejscy łamali prawo, by zasłużyć na premie?

Prokuratura ustala, czy w czasie, gdy Lech Kaczyński był prezydentem Warszawy, nie dochodziło do nieprawidłowości w pracy straży miejskiej - informuje dziennik "Polska". Strażnicy mieli bowiem dokonywać czynności, na które prawo pozwala jedynie policji. Według "Polski" wszystko po to, żeby zasłużyć na premie według nowego systemu punktowego.

Komorowski: Moje żarty nie są najwyższej jakości, ale odwoływać?

- To dopiero jest śmieszne - jeżeli za żarty chce się odwołać Marszałka Sejmu. Nawet jeśli niekoniecznie były najwyższej jakości (...) i to w chwili, gdy Sejm będzie głosował nad budżetem - tak w radiowej Jedynce Bronisław Komorowski skomentował wniosek PiS o odwołanie go z funkcji Marszałka Sejmu. Chodzi o słowa wypowiedziane zaraz po incydencie prezydenta w Gruzji. Komorowski stwierdził wtedy "jaka wizyta, taki zamach".

Czy minogi mogą dostać zawału?

Z powodu minogów zagrzebanych w dnie Wisły pod Kwidzynem wstrzymano budowę najważniejszego mostu na Pomorzu. - Czy z ich powodu mamy poświęcić interesy mieszkańców Powiśla? - pyta eurodeputowany Janusz Lewandowski. Ekolodzy odpowiadają: - Trzeba było nie zmieniać projektu na szkodliwy dla środowiska.

„Orliki” Tuska w telewizji Urbańskiego. Do przerwy 0:1

Znany dziennikarz chce robić w publicznej telewizji teleturniej o „orlikach”, ale TVP go zbywa.

Polska nie zrezygnuje z bomb kasetowych

Nasz rząd nie podpisze międzynarodowej konwencji zakazującej produkcji, handlu i stosowania bomb kasetowych. Dziś w Oslo zrobi to ponad sto krajów. Nowa konwencja już została uznana za najważniejszy traktat humanitarny i rozbrojeniowy całej dekady.

Nowogrodzka 84/86 jednak do prokuratury

Jarosław Kaczyński ocenę półmetka rządów prezydent Warszawy Hanny Gronkiewicz-Waltz zorganizował w centrali PiS przy Nowogrodzkiej. Tym adresem interesuje się prokuratura

Koniec armii poborowych

Zaczęło się ostatnie przymusowe wcielenie do polskiej armii. Potem kontakt z wojskiem skończy się na wizycie w WKU. A może nawet przez internet.

Bunt proboszczów

Proboszcz jak poseł na kadencję? Proboszczowie torpedują pomysł biskupów

Prokuratura ustala przyczyny śmierci rockmana

Krakowska prokuratura wszczęła śledztwo w sprawie śmierci gitarzysty zespołu Acid Drinkers Aleksandra Mendyka. Muzyka znaleziono martwego w niedzielę rano w jednym z krakowskich hoteli. 29-letni muzyk spędzał w hotelu noc po koncercie. Wstępne policyjnej oględziny zwłok wykluczyły obrażenia zewnętrzne.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Rotacja

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja formalna

[edytuj] Notacja macierzowa

[edytuj] Notacja Einsteina

[edytuj] Własności rotacji

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach