Rozmaitość algebraiczna

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Rozmaitość algebraiczna - pojęcie matematyczne, z dziedziny geometrii algebraicznej, oznaczające zasadniczo zbiór punktów, których współrzędne spełniają pewien układ równań wielomianowych.

Historyczne znaczenie rozmaitości algebraicznych zaczęło być widoczne od czasu udowodnienia podstawowego twierdzenia algebry, które łączy w pewnym sensie algebrę i geometrię, gdyż mówi, że wielomian jednej zmiennej zespolonej jest wyznaczony jednoznacznie przez zbiór swoich pierwiastków - obiekt zasadniczo geometryczny. Rozszerzając to rozumowanie, twierdzenie Hilberta o zerach pokazuje fundamentalną odpowiedniość między ideałami w pierścieniach wielomianów, a podzbiorami przestrzeni afinicznej. Dzięki temu twierdzeniu i związanym z nim wynikom, możemy badać obiekty geometryczne, jakimi są rozmaitości algebraiczne, metodami algebry, w szczególności teorii pierścieni.

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Rozmaitości afiniczne
- 1.2 Rozmaitości rzutowe
2 Podstawowe własności
3 Literatura
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Rozważane są cztery rodzaje rozmaitości algebraicznych: rozmaitości afiniczne, rozmaitości quasi-afiniczne, rozmaitości rzutowe i rozmaitości quasi-rzutowe. Istnieją także pewne uogólnienia tych pojęć, określane terminem abstrakcyjnych rozmaitości algebraicznych.

[edytuj] Rozmaitości afiniczne

Zobacz też: zbiór algebraiczny.

Niech $k$ będzie ciałem algebraicznie domkniętym, zaś $\mathbf A^n$ niech będzie n-wymiarową przestrzenią afiniczną nad $k$ . Wielomiany $f \in k[x_1,...,x_n]$ możemy uważać za funkcje na $\mathbf A^n$ o wartościach w $k$ . Dla każdego $S \subset k[x_1,...,x_n]$ zdefiniujmy miejsce zer jako podzbiór $\mathbf A^n$ , w którym wszystkie wielomiany ze zbioru $S$ znikają:

$Z(S)=\{x\in\mathbf A^n|f(x)=0 \mbox{ dla wszystkich }f\in S\}$

$V$ będący podzbiorem $\mathbf A^n$ nazywamy afinicznym zbiorem algebraicznym, jeśli $V = Z (S)$ dla pewnego $S$ . Niepusty afiniczny zbiór algebraiczny nazywamy nierozkładalnym, jeśli nie można go zapisać jako suma dwóch właściwych podzbiorów algebraicznych. Nierozkładalny afiniczny zbiór algebraiczny nazywamy afiniczną rozmaitością algebraiczną lub po prostu rozmaitością afiniczną.

Dla rozmaitości afinicznych możemy przyjąć naturalną topologię, tzw. topologię Zariskiego, poprzez określenie, że zbiorami domkniętymi są wszystkie zbiory algebraiczne.

Dla $V$ - podzbioru $\mathbf A^n$ , niech $I (V)$ będzie ideałem wszystkich wielomianów znikających na $V$ :

$I(V)=\{f\in k[x_1,...,x_n]|f(x)=0 \mbox{ dla wszystkich } x\in V\}$

Dla dowolnego zbioru algebraicznego $V$ , pierścieniem współrzędnych lub pierścieniem struktury nazywamy iloraz pierścienia wielomianów przez ten ideał.

[edytuj] Rozmaitości rzutowe

Niech $\mathbf P^n$ oznacza n-wymiarową przestrzeń rzutową nad ciałem $k$ . Wielomiany jednorodne w pierścieniu $k [x 0,..., x n]$ możemy rozważać jako funkcje na $\mathbf P^n$ o wartościach w $k$ , poprzez waluację we współrzędnych jednorodnych. Jednorodność wielomianów gwarantuje, że konstrukcja ta jest poprawna. Dla dowolnego $S \subset \mathbf P^n$ , miejsce zer zbioru $S$ definiujemy analogicznie, jak w przypadku afinicznym:

$Z(S)=\{x\in\mathbf P^n|f(x)=0 \mbox{ dla wszystkich }f\in S\}$

$V$ - podzbiór $\mathbf P^n$ nazywamy rzutowym zbiorem algebraicznym jeśli $V = Z (S)$ dla pewnego $S$ . Nierozkładalny rzutowy zbiór algebraiczny nazywamy algebraiczną rozmaitością rzutową, lub krócej rozmaitością rzutową.

Tak samo, jak w przypadku afinicznym, możemy przyjąć w naturalny sposób topologię Zariskiego.

Dla $V \subset \mathbf P^n$ , niech $I (V)$ będzie ideałem generowanym przez wszystkie wielomiany jednorodne znikające na $V$ . Dla dowolnego rzutowego zbioru algebraicznego $V$ , pierścieniem współrzędnych tego zbioru nazywamy iloraz pierścienia wielomianów przez ten ideał.

[edytuj] Podstawowe własności

Afiniczny zbiór algebraiczny $V$ jest rozmaitością wtw $I (V)$ jest ideałem pierwszym; równoważnie, $V$ jest rozmaitością wtw jej pierścień współrzędnych jest dziedziną całkowitości.
Każdy niepusty afiniczny zbiór algebraiczny można jednoznacznie przedstawić jako suma rozmaitości algebraicznych
Niech $k [V]$ oznacza pierścień współrzędnych rozmaitości $V$ . Wtedy mówimy, że wymiar $V$ to stopień przestępności ciała ułamków pierścienia $k [V]$ nad $k$

[edytuj] Literatura

Robin Hartshorne (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9
David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9.

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Geometria algebraiczna

Prezydent do generała: „Proszę się wynosić”

- Prezydent nie najlepiej potraktował szefa BOR-u. Ponoć padły słowa proszę się wynosić - powiedział Zbigniew Chlebowski, szef klubu parlamentarnego PO w porannej audycji na antenie radia RMF. Przyznał, że jest różnica między tym sformułowaniem, a "won gnoju", powtarzanym przez posła Palikota.

Drugi dzień protestu ekologów na kominie elektrowni w Koninie

Pięcioro ekologów z Greenpeace, w tym Polka, przebywa od wtorku na 150-metrowym kominie Zespołu Elektrowni Pątnów-Adamów-Konin w Koninie.

Górnik zginął w "Wujku"

47-letni górnik - kombajnista zginął w katowickiej kopalni "Wujek" - podała w środę rzeczniczka Wyższego Urzędu Górniczego Edyta Tomaszewska.

Strażnicy miejscy łamali prawo, by zasłużyć na premie?

Prokuratura ustala, czy w czasie, gdy Lech Kaczyński był prezydentem Warszawy, nie dochodziło do nieprawidłowości w pracy straży miejskiej - informuje dziennik "Polska". Strażnicy mieli bowiem dokonywać czynności, na które prawo pozwala jedynie policji. Według "Polski" wszystko po to, żeby zasłużyć na premie według nowego systemu punktowego.

Komorowski: Moje żarty nie są najwyższej jakości, ale odwoływać?

- To dopiero jest śmieszne - jeżeli za żarty chce się odwołać Marszałka Sejmu. Nawet jeśli niekoniecznie były najwyższej jakości (...) i to w chwili, gdy Sejm będzie głosował nad budżetem - tak w radiowej Jedynce Bronisław Komorowski skomentował wniosek PiS o odwołanie go z funkcji Marszałka Sejmu. Chodzi o słowa wypowiedziane zaraz po incydencie prezydenta w Gruzji. Komorowski stwierdził wtedy "jaka wizyta, taki zamach".

Czy minogi mogą dostać zawału?

Z powodu minogów zagrzebanych w dnie Wisły pod Kwidzynem wstrzymano budowę najważniejszego mostu na Pomorzu. - Czy z ich powodu mamy poświęcić interesy mieszkańców Powiśla? - pyta eurodeputowany Janusz Lewandowski. Ekolodzy odpowiadają: - Trzeba było nie zmieniać projektu na szkodliwy dla środowiska.

„Orliki” Tuska w telewizji Urbańskiego. Do przerwy 0:1

Znany dziennikarz chce robić w publicznej telewizji teleturniej o „orlikach”, ale TVP go zbywa.

Polska nie zrezygnuje z bomb kasetowych

Nasz rząd nie podpisze międzynarodowej konwencji zakazującej produkcji, handlu i stosowania bomb kasetowych. Dziś w Oslo zrobi to ponad sto krajów. Nowa konwencja już została uznana za najważniejszy traktat humanitarny i rozbrojeniowy całej dekady.

Koniec armii poborowych

Zaczęło się ostatnie przymusowe wcielenie do polskiej armii. Potem kontakt z wojskiem skończy się na wizycie w WKU. A może nawet przez internet.

Bunt proboszczów

Proboszcz jak poseł na kadencję? Proboszczowie torpedują pomysł biskupów

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Rozmaitość algebraiczna

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Rozmaitości afiniczne

[edytuj] Rozmaitości rzutowe

[edytuj] Podstawowe własności

[edytuj] Literatura

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach