Sprzężenie hermitowskie

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy
macierz jednostkowa
macierz zerowa
macierz elementarna
macierz schodkowa
macierz trójkątna
macierz klatkowa
macierz symetryczna
macierz diagonalna
macierz idempotentna
macierz nilpotentna
macierz hermitowska
macierz unitarna
macierz ortogonalna
macierz dodatnio określona

Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
potęgowanie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana

Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Sprzężenie hermitowskie – w ujęciu analizy funkcjonalnej konstrukcja matematyczna w teorii przestrzeni Hilberta w wyniku której otrzymuje się operator dualny (sprzężony) do danego.

Spis treści

1 Definicja ogólna
- 1.1 Macierze
  - 1.1.1 Przykład
2 Operatory samosprzężone
- 2.1 Własności
- 2.2 Zastosowania
3 *-algebry
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja ogólna

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym $\langle x,y \rangle$ , zaś $T$ operatorem liniowym ograniczonym na $H$ . Z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału wynika, że dla każdego $y\in H$ istnieje dokładnie jeden element $z \in H$ taki, że równość

$\langle Tx,y \rangle = \langle x,z \rangle$

zachodzi dla wszystkich $x\in H.$

Ponadto odwzorowanie $y \mapsto z$ jest operatorem liniowym ograniczonym na $H$ . Operator ten nazywamy operatorem sprzężonym (dualnym) do $T$ i oznaczamy symbolem $T^\star$ . Innymi słowy, istnieje dokładnie jeden operator $T^\star: H \to H,$ dla którego zachodzi

$\forall_{x,y \in H}\;\langle Tx,y \rangle = \langle x,T^\star y \rangle$ .

Powyższą konstrukcję nazywa się operacją sprzężenia hermitowskiego. W żargonie jednak sprzężeniem hermitowskim nazywa się też sam operator $T^\star$ (wynik konstrukcji). Tak więc operator $T^\star$ jest antyautomorfizmem algebry operatorów liniowych w przestrzeni Hilberta.

Istnieją dwie główne konwencje oznaczeń operatora sprzężonego. Matematycy używają symbolu gwiazdki $T^\star$ , natomiast fizycy zwykle używają krzyżyka, tzn. $T^\dagger$ .

[edytuj] Macierze

Sprzężenie hermitowskie macierzy – określone dla macierzy zespolonych złożenie operacji transpozycji i trywialnego sprzężenia zespolonego.

Sprzężeniem hermitowskim macierzy formalnie nazywamy więc odwzorowanie

$\cdot^\star: M_n(\mathbb C) \to M_n(\mathbb C)$

takie, że dla $A \in M_{n}(\mathbb C)$ zachodzi

$A=(a_{ij}) \mapsto A^\star = (\overline {a_{ji}})$ ,

czyli

$A^\star = \overline A^T = \overline {A^T}$ .

[edytuj] Przykład

$A=\begin{bmatrix} 2+3i & 1-2i & -1+2i \\ 0 & -2 & 3+2i \\ -i & 2-i & 2+i \end{bmatrix} \mapsto A^\star = \begin{bmatrix} 2-3i & 0 & i \\ 1+2i & -2 & 2+i \\ -1-2i & 3-2i & 2-i \end{bmatrix}$

[edytuj] Operatory samosprzężone

Operator hermitowski, samosprzężony – operator liniowy określony na skończeniewymiarowej przestrzeni Hilberta równy swemu operatorowi sprzężonemu, tzn. taki, że

$T=T^\star$

W szczególnym przypadku macierzy, macierz hermitowska (samosprzężona) $A$ to taka, która jest równa transpozycji swojego sprzężenia:

$A = A^\star = {\overline A^T}$ , czyli $a_{ij} = \overline {a_{ji}}$ .

[edytuj] Własności

Operatory (macierze) hermitowskie mają rzeczywiste wartości własne:

Załóżmy, że

λ

jest wartością własną operatora

T

, czyli

$\exists_{x \ne 0}\; Tx=\lambda x$ .

Mamy wówczas

$\lambda \langle x,x \rangle= \langle \lambda x,x \rangle = \langle Tx,x \rangle = \langle x,Tx\rangle = \langle x, \lambda x \rangle = {\overline \lambda} \langle x, x \rangle$ .

Stąd też $\lambda = \overline \lambda$ .

[edytuj] Zastosowania

W mechanice kwantowej operatory hermitowskie są używane do reprezentacji wielkości fizycznych i nazywane obserwablami ("wielkościami, które można obserwować"). Na przykład pęd i energia w mechanice kwantowej przestają być odpowiednio wektorem i skalarem jak w teorii klasycznej, a stają się bardziej abstrakcyjnymi operatorami w pewnej przestrzeni Hilberta.

[edytuj] *-algebry

Element $x$ należący do *-algebry jest samosprzężony, gdy $x * = x$ .

Zbiór $C$ elementów *-algebry jest samosprzężony, jeśli jest zamknięty ze względu na operację inwolucji. Przykładowo, jeśli $x * = y$ wtedy ponieważ $y^*={x^*}^*=x$ należy do *-algebry, to zbiór ${x, y}$ jest samosprzężony nawet, gdy elementy $x, y$ nie są samosprzężone.

[edytuj] Zobacz też

Życiński: „Gazeta Polska” jak „Nie” Urbana

- Opublikuję wszystkie dokumenty SB dotyczące mojej osoby. Ale najpierw niech użyją sobie prowokatorzy - stwierdził abp Józef Życiński nazywając tak „Gazetę Polską”.

Prezydent: Usłyszałem strzały 30 metrów ode mnie

- Podjechaliśmy do miejsca, w którym Rosjan, zgodnie z planem prezydenta Sarkozy'ego, być nie powinno - powiedział polskim dziennikarzom prezydent Lech Kaczyński.

Oprawca małego Bartka odpowie za zabójstwo

Zarzut zabójstwa postawiła jeleniogórska prokuratura Mariuszowi V., oprawcy 3,5-letniego Bartka z Kamiennej Góry. Teraz grozi mu dożywocie

W Gruzji ostrzelano konwój z Lechem Kaczyńskim

- Kolumna samochodów z prezydentami Polski i Gruzji została ostrzelana w drodze z lotniska w Tbilisi do jednego z osiedli przy granicy z Osetią. Nikomu nic się nie stało. Prezydent, pytany później, dlaczego konwój pojechał w stronę Osetii, odpowiedział: - Żebym zobaczył, że Rosjanie są w miejscach, które nie są objęte planem pokojowym. Tam być ich nie powinno - mówił.

Trzech nastolatków śmiertelnie pobiło 51-latka

Łódzka policja zatrzymała trzech nastolatków, którzy śmiertelnie pobili 51-letniego mężczyznę. Dwóch z nich może trafić na 10 lat do więzienia.

Straż Graniczna rozbiła grupę przemytników

Funkcjonariusze Nadbużańskiego Oddziału Straży Granicznej (NOSG) rozbili grupę, zajmującą się obrotem towarami, głównie papierosami, bez polskich znaków skarbowych akcyzy. Zatrzymano trzy osoby.

Kurski: widziałem ministra nawalonego jak Messerschmitt

Zdaniem Jacka Kurskiego Elżbieta Kruk padła ofiarą panującej w mediach niechęci do PiS. Na antenie Radia ZET poseł bronił swojej partyjnej koleżanki i opowiadał o ministrze rządu Donalda Tuska, który pijany przyszedł do studia telewizji Polsat.

Autobus wpadł do rowu, 12 rannych

Na drodze wojewódzkiej nr 865 Jarosław - Lubaczów autobus wpadł do rowu w miejscowości Makowisko (Podkarpackie). 12 osób - uczestników wycieczki - trafiło do szpitala. Na razie nie wiadomo, jak poważne odnieśli obrażenia.

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Sprzężenie hermitowskie

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja ogólna

[edytuj] Macierze

[edytuj] Przykład

[edytuj] Operatory samosprzężone

[edytuj] Własności

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] *-algebry

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach