Struktura matematyczna

Z Wikipedii

Struktura matematyczna - zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.

Na strukturę matematyczną M składają się uniwersum (czyli pewien zbiór lub szerzej klasa) oraz interpretacja symboli pewnego języka L, w którego skład mogą (lecz nie muszą) wchodzić symbole funkcji, relacji i stałych (interpretacje symboli stałych w modelu to elementy wyróżnione). Dlatego każdą strukturę M musimy rozpatrywać w kontekście ustalonego języka L. Mówimy wtedy, że M jest modelem (strukturą) dla języka L.

Często spotyka się rozróżnienie w rozumieniu znaczenia terminów model i struktura matematyczna (system semantyczny). Wówczas termin model jest tożsamy tylko z uniwersum.

Spis treści 1 Klasyfikacja struktur matematycznych 2 Modele języków pierwszego rzędu 3 Własności i zastosowania 4 Zobacz też

[edytuj] Klasyfikacja struktur matematycznych

W teorii struktur wyróżnia się m.in.

• struktury algebraiczne, tzn struktury dla języka, w którym mamy tylko symbole funkcji i/albo stałych, a nie relacji. Nie oznacza to brak relacji w modelu, każda funkcja jest bowiem relacją. Struktury takie można zwykle rozumieć jako zbiory z danymi działaniami. Przykładami struktur algebraicznych są grupy. Uniwersum tworzy zbiór elementów grupy, elementem wyróżnionym jest element neutralny działania grupowego, funkcjami natomiast są działanie grupowe oraz operacja brania elementu odwrotnego. W podobny sposób strukturami są wszystkie pozostałe struktury algebraiczne, czyli między innymi ciała, pierścienie, moduły i przestrzenie liniowe.
• struktury porządkowe, tworzone przez zbiory wraz z ich relacjami porządkującymi, czyli m.in. częściowe porządki. Uniwersum stanowi zbiór elementów porządku, natomiast relacją jest relacja częściowego porządku.
• struktury topologiczne, tworzone przez zbiory, w których wyróżniona jest rodzina podzbiorów o ustalonych własnościach. Zbiór wraz ze swoją strukturą topologiczną tworzy przestrzeń topologiczną.
• struktury mieszane będące połączeniem co najmniej dwóch z powyższych rodzajów struktur, np. grupa topologiczna, przestrzeń liniowo-topologiczna, ciało uporządkowane.

[edytuj] Modele języków pierwszego rzędu

Niech τ będzie alfabetem pewnego języka pierwszego rzędu .

Interpretacją (modelem) języka nazywamy dowolną parę uporządkowaną , gdzie U jest niepustym zbiorem, natomiast ∆ jest funkcją określona na zbiorze wszystkich stałych pozalogicznych rozważanego języka, spełniającą następujące warunki:

1. dla dowolnej stałej indywiduowej a_i, ∆(a_i) ∈ U,
2. dla każdego predykatu n-argumentowego , Δ(P) jest n-członową relacją w zbiorze U,
3. dla każdego n-argumentowego symbolu funkcyjnego F, Δ(F) jest n-argumentową funkcją, której argumenty i wartości należą do zbioru U.

[edytuj] Własności i zastosowania

Każdemu modelowi można przyporządkować zbiór tych wszystkich zdań logicznych wyrażonych w języku tego modelu, które są w nim prawdziwe (jest to teoria tego modelu). Można też rozważać modele, które spełniają dany niesprzeczny zbiór zdań. Twierdzenie o istnieniu modelu udowodnione w 1931 roku przez Kurta Gödla mówi, że dla każdego takiego zbioru zdań istnieje model, który spełnia je wszystkie (spełnia w sensie definicji spełniania Tarskiego).

Struktura matematyczna jest na tyle ogólnym pojęciem, że badanie własności modeli i pewnych klas ich przekształceń (na przykład izomorfizmów, elementarnych równoważności) pozwala na wyciąganie pewnych generalnych wniosków dotyczących rzeczywistości matematycznej. Badaniami takimi zajmuje się teoria modeli, jeden z działów logiki matematycznej.

[edytuj] Zobacz też

• podstawowe zagadnienia z zakresu matematyki,
• model Herbranda.

Medyka: ''Mrówki'' zgromadziły się przed Urzędem Miasta

Około stu osób, tzw. mrówek, zebrało się przed Urzędem Miasta Przemyśla. Protestują przeciwko zmianom przepisów celnych, które pozwalają przenosić przez granicę tylko 40 sztuk papierosów.

Amnestia dla wszystkich, którzy unikali służby wojskowej

Mężczyźni, którzy są zarejestrowani, lecz ukrywają się i ignorują wezwania - zostaną przeniesieni do rezerwy. Ci którzy ukrywali się przed rejestracją - teraz będą musieli najpierw się zarejestrować i dopiero wtedy zostaną przeniesieni do rezerwy - ogłosił dziś szef MON Bogdan Klich.

Gen. Sikorski nie został zastrzelony ani uduszony

Prezes IPN Janusz Kurtyka potwierdził, że gen. Władysław Sikorski zginął w katastrofie lotniczej. - W trakcie badań nie stwierdzono śladów, które by wskazywały, że generał został postrzelony bądź uduszony.

Dalajlama: zawsze zazdrościłem Wałęsie wąsów

Rozpoczęło się spotkanie noblistów z 600 młodymi ludźmi z całego kraju. Uczestniczą w nim Lech Wałęsa, Shirn Ebadi (irańska obrończyni praw kobiet), prezydent RPA Frederik de Klerk oraz Dalajlama XIV, który dziennikarzy poinformował, że Wałęsie zazdrości... wąsów,. Wałęsa uważa, że przyznanie mu 25 lat temu Pokojowej Nagrody Nobla było zachętą dla ruchu "Solidarność" do dalszego działania.

Kategoria A, życie z wyrokiem

Paweł od trzech lata żyje jak zbieg z więzienia. Jedna litera w książeczce wojskowej i sprzeciw wobec obowiązkowej służby wojskowej zmieniły jego życie. Dzisiaj Ministerstwo Obrony Narodowej ogłosiło amnestię dla takich jak on.

Wizyta prezydenta w Azji skrócona, odwołano przyjęcie

Lech Kaczyński wróci do Polski wcześniej niż początkowo planowano. Polski prezydent miał wydać w sobotę przyjęcie w hotelu w Seulu. Jednak impreza została odwołana i w sobotę przed północą polska delegacja będzie już w kraju.

Sejm przeciw odwołaniu Komorowskiego

Sejm odrzucił wniosek PiS-u o odwołanie Bronisława Komorowskiego z funkcji marszałka Sejmu. Komorowski powiedział chwilę potem, że choć Sejm nie poparł PiS-u, to wniosek, debata i głosowanie to dla niego cenne doświadczenie: - Nauczyło mnie to, że trzeba miarkować także to, co chce się wyrazić językiem ironii - stwierdził. - Dziękuję wszystkim - zakończył.

A co mnie jakiś barman na Cyprze obchodzi?

Tymi słowami Jacek Kurski skomentował doniesienia Polaka, pracującego w hotelu na Cyprze, o pijanych dwóch posłach PiS, którzy zniszczyli hotelowe wózki golfowe. Kurski zapewnił też o swoim poparciu dla kolegów i porównał całą sprawę do swojego niedawnego drogowego wybryku, czyli "rzekomej afery, która podnieciła tabloidy".

Lądowanie z turbulencjami: Lech Kaczyński przybył do Seulu

Prezydent RP Lech Kaczyński przybył około godz. 5.50 rano czasu polskiego do Seulu. Wizyta w Korei Południowej ma charakter oficjalny i kończy trwającą od niedzieli podróż prezydenta po Azji.

Marcinkiewicz na Platformie do Strasburga

Były premier Kazimierz Marcinkiewicz na pierwszym miejscu warszawskiej listy PO do Parlamentu Europejskiego. Taki wariant rozważają liderzy partii - dowiedziała się „Gazeta”