Suma zbiorów

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Skocz do: nawigacji, szukaj

Suma (unia) zbiorów – działanie algebry zbiorów.

Spis treści

1 Definicje
- 1.1 Przykłady
- 1.2 Aksjomat sumy
2 Własności
3 Zobacz też

[edytuj] Definicje

Suma zbiorów A i B

Sumą albo unią zbiorów nazywamy zbiór złożony ze wszystkich elementów należących do któregokolwiek z sumowanych zbiorów. Suma zbiorów A i B jest oznaczana przez $A\cup B$ . Tak więc:

$A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}$

Suma jest zdefiniowana również dla większej ilości zbiorów: sumę rodziny zbiorów (zwaną też sumą uogólnioną) definiujemy jako zbiór elementów, które należą do przynajmniej jednego ze zbiorów z tej rodziny. Tak więc suma rodziny zbiorów ${\mathfrak A}$ to

$\bigcup {\mathfrak A} = \{x:(\exists A \in \mathfrak A)(x\in A)\}$

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów $(A_i)_{i\in I}$ definiujemy

$\bigcup_{i\in I} A_i = \{a : (\exists i \in I)(a\in A_i)\}.$

Należy zauważyć, że poza teorią mnogości matematycy używają raczej sum rodzin indeksowanych niż sum zbiorów zbiorów. Jedne mogą zredukowane do drugich, np $\bigcup_{i\in I}A_i = \bigcup \{ A_i: i\in I\}$ , a użycie zapisu indeksowanego jest często bardziej czytelne.

[edytuj] Przykłady

Niech ${\mathbb Q}$ będzie zbiorem liczb wymiernych a ${\mathbb I}{\mathbb Q}$ niech będzie zbiorem liczb niewymiernych. Wówczas ${\mathbb Q}\cup {\mathbb I}{\mathbb Q}$ jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych, tzn ${\mathbb Q}\cup {\mathbb I}{\mathbb Q}={\mathbb R}$ .
$(0,2)\cup [1,3]=(0,3]$ ,
$\bigcup\limits_{n\in {\mathbb N}} (1,2-\frac{1}{n+1})=(1,2)$
Niech ${\mathfrak A}$ będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawartych w odcinku $[\sqrt{2},\sqrt{5})$ . Wówczas

$\bigcup {\mathfrak A}=(\sqrt{2},\sqrt{5})$ .

[edytuj] Aksjomat sumy

Powyższa definicja sumy zbiorów jest w pewnym stopniu niekompletna. Zapis $A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}$ należy rozumieć jako opisujący zbiór $A\cup B$ przez podanie własności jego elementów, tak jak podaliśmy w opisie słownym. Nie zastanawiliśmy się natomiast czy taki zbiór istnieje. Podobnie dla dowolnej rodziny zbiorów ${\mathfrak A}$ powinniśmy zapytać czy istnieje zbiór $U$ do którego należą dokładnie te obiekty $x$ , które należą do co najmniej jednego spośród zbiorów, które są elementami rodziny ${\mathfrak A}$ . Nasze definicje sumy zbiorów (w obu przypadkach) będą poprawne tylko wtedy gdy odpowiedź na pytanie o istnienie odpowiedniego zbioru jest pozytywna. Aby to zagwarantować, wśród standardowych aksjomatów teorii mnogości wymienia się również aksjomat sumy:

$(\forall {\mathfrak A})(\exist U)(\forall x)\Big(x\in U\ \Leftrightarrow\ (\exist A)(x\in A\wedge A\in {\mathfrak A})\Big)$ .

[edytuj] Własności

[edytuj] Operacje skończone

Dla dowolnych zbiorów $A, B, C$ zachodzą następujące równości:

$\bigcup\emptyset=\emptyset$
$\bigcup \{ A\} = A =A\cup A$ ;
$\bigcup \{ A, B\} = A \cup B$ ;
$\emptyset\cup A=A$
$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ (łączność);
$A \cup B = B \cup A$ (przemienność);
$(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B\cup C)$ oraz $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B\cap C)$ (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego);
$C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$ (prawo De Morgana).

Ponadto,

$A\subseteq B$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\cup B = B$ .

Niech U będzie niepustym zbiorem a ${\mathcal P}({\mathbf U})$ niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów zbioru U. Wówczas

$({\mathcal P}({\mathbf U}),\cup,\cap,\setminus,\emptyset,{\mathbf U})$

jest zupełną algebrą Boole'a.

[edytuj] Operacje nieskończone

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech $\{A_i:i\in I\}$ , $\{B_i:i\in I\}$ oraz $\{C_{j,k}:j\in J\ \wedge\ k\in K\}$ będą indeksowanymi rodzinami zbiorów. Niech D będzie zbiorem. Wówczas

$\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cup B_i)=\bigcup\limits_{i\in I} A_i\cup \bigcup\limits_{i\in I} B_i$
$\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cap B_i)\subseteq \bigcup\limits_{i\in I} A_i\cap \bigcup\limits_{i\in I} B_i$
$D\cap \bigcup\limits_{i\in I} A_i=\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cap D)$
$D\cup \bigcup\limits_{i\in I} A_i=\bigcup\limits_{i\in I} (A_i\cup D)$
$D\setminus \bigcup\limits_{i\in I} A_i=\bigcap\limits_{i\in I} D\setminus A_i$
$\bigcup\limits_{j\in J}\bigcup\limits_{k\in K} C_{j,k}=\bigcup\limits_{k\in K}\bigcup\limits_{j\in J} C_{j,k}$
$\bigcup\limits_{j\in J}\bigcap\limits_{k\in K} C_{j,k}\subseteq\bigcap\limits_{k\in K}\bigcup\limits_{j\in J} C_{j,k}$

Następującą formułę przytaczamy jako ciekawostkę. Niech ${\mathfrak A}$ będzie rodziną zbiorów. Wówczas

$\bigcup(\bigcup {\mathfrak A}) = \bigcup \{\bigcup A : A\in {\mathfrak A}\}.$

[edytuj] Suma a obrazy i przeciwobrazy

Dla dowolnej funkcji $f : X\longrightarrow Y$ , dla dowolnej rodziny indeksowanej $\{A_i:i\in I\}$ podzbiorów zbioru X, oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej $\{B_j:j\in J\}$ podzbiorów zbioru Y, zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

$\bigcup \{f^{-1}[B_j]: j\in J\} = f^{-1}[\bigcup\limits_{j\in J} B_j]$ (inaczej mówiąc, przeciwobraz sumy jest sumą przeciwobrazów);
$f[\bigcup\limits_{i\in I} A_i]=\bigcup\limits_{i\in I} f[A_i]$ (czyli obraz sumy jest sumą obrazów).

[edytuj] Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Liczby i ich zbiory

Kategoria: Teoria mnogości

Nowy Targ: wybuch gazu, jedna osoba nie żyje

Jedna osoba zginęła, dwie ugrzęzły w gruzach budynku, a trzy są poszukiwane. To wynik zawalenia się domu jednorodzinnego przy ulicy Waksmundzkiej w Nowym Targu. Przyczyny wybuchu gazu nie są na razie znane.

Medyka: ''Mrówki'' zgromadziły się przed Urzędem Miasta

Około stu osób, tzw. mrówek, zebrało się przed Urzędem Miasta Przemyśla. Protestują przeciwko zmianom przepisów celnych, które pozwalają przenosić przez granicę tylko 40 sztuk papierosów.

Amnestia dla wszystkich, którzy unikali służby wojskowej

Zamknęliśmy 90-letni rozdział armii z przymusu - powiedział minister obrony narodowej Bogdan Klich. Dodał, że podpisany został rozkaz w sprawie uchylenia kart powołania. Dotyczyć będzie także tych, którzy mieli się stawić do poboru w ostatnich trzech dniach.

Gen. Sikorski nie został zastrzelony ani uduszony

Prezes IPN Janusz Kurtyka potwierdził, że gen. Władysław Sikorski zginął w katastrofie lotniczej. - W trakcie badań nie stwierdzono śladów, które by wskazywały, że generał został postrzelony bądź uduszony.

Dalajlama: zawsze zazdrościłem Wałęsie wąsów

Rozpoczęło się spotkanie noblistów z 600 młodymi ludźmi z całego kraju. Uczestniczą w nim Lech Wałęsa, Shirn Ebadi (irańska obrończyni praw kobiet), prezydent RPA Frederik de Klerk oraz Dalajlama XIV, który dziennikarzy poinformował, że Wałęsie zazdrości... wąsów,. Wałęsa uważa, że przyznanie mu 25 lat temu Pokojowej Nagrody Nobla było zachętą dla ruchu "Solidarność" do dalszego działania.

Wizyta prezydenta w Azji skrócona, odwołano przyjęcie

Lech Kaczyński wróci do Polski wcześniej niż początkowo planowano. Polski prezydent miał wydać w sobotę przyjęcie w hotelu w Seulu. Jednak impreza została odwołana i w sobotę przed północą polska delegacja będzie już w kraju.

Sejm przeciw odwołaniu Komorowskiego

Sejm odrzucił wniosek PiS-u o odwołanie Bronisława Komorowskiego z funkcji marszałka Sejmu. Komorowski powiedział chwilę potem, że choć Sejm nie poparł PiS-u, to wniosek, debata i głosowanie to dla niego cenne doświadczenie: - Nauczyło mnie to, że trzeba miarkować także to, co chce się wyrazić językiem ironii - stwierdził. - Dziękuję wszystkim - zakończył.

A co mnie jakiś barman na Cyprze obchodzi?

Tymi słowami Jacek Kurski skomentował doniesienia Polaka, pracującego w hotelu na Cyprze, o pijanych dwóch posłach PiS, którzy zniszczyli hotelowe wózki golfowe. Kurski zapewnił też o swoim poparciu dla kolegów i porównał całą sprawę do swojego niedawnego drogowego wybryku, czyli "rzekomej afery, która podnieciła tabloidy".

Lądowanie z turbulencjami: Lech Kaczyński przybył do Seulu

Prezydent RP Lech Kaczyński przybył około godz. 5.50 rano czasu polskiego do Seulu. Wizyta w Korei Południowej ma charakter oficjalny i kończy trwającą od niedzieli podróż prezydenta po Azji.

Marcinkiewicz na Platformie do Strasburga

Były premier Kazimierz Marcinkiewicz na pierwszym miejscu warszawskiej listy PO do Parlamentu Europejskiego. Taki wariant rozważają liderzy partii - dowiedziała się „Gazeta”

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Suma zbiorów

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicje

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Aksjomat sumy

[edytuj] Własności

[edytuj] Operacje skończone

[edytuj] Operacje nieskończone

[edytuj] Suma a obrazy i przeciwobrazy

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach