Torus (matematyka)

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Torus

Zobacz galerię na Wikimedia Commons:
Torus (matematyka)

Torus (łac. armila) - dwuwymiarowy torus (oznaczany często $T 2$ ) to dwuwymiarowa powierzchnia geometryczna leżąca w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół osi (dookoła prostej) leżącej w tej samej płaszczyźnie co ten okrąg, i nie przecinającej go (czyli nie mającej z nim wspólnych punktów).

Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.

[edytuj] Wzory

Jeśli okrąg ten ma promień r, a odległość prostej od jego środka wynosi R, to pole powierzchni S torusa wynosi $S = 4π 2 r R$ , a objętość $V = 2π 2 R r 2$ . Równanie torusa ma postać: $\left(\sqrt{x^2 + y^2} - R\right)^2+z^2 = r^2$ .

[edytuj] Uogólnienie

Uogólnienie definicji torusa może polegać na rozważeniu płaszczyzny i utożsamieniu punktów odległych w pewnym kierunku o odległość X, zaś w innym niezależnym kierunku o Y, gdzie X i Y są ustalonymi liczbami. Utożsamienie takie przeprowadza płaszczyznę w tzw. kratę. Jest to przykład odwzorowania, które przeprowadza płaszczyznę w torus, i które łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary (utożsamienie punktów odległych w trzech różnych kierunkach o X, Y, Z odpowiednio itd. dla większej liczby wymiarów).

Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.

[edytuj] Parametryzacja torusa

Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie $x z$ o środku w punkcie $\left(R, 0, 0\right)$ , $R > 0$ i promieniu $r > 0$ . Wówczas jego parametryzacja przedstwaia się następująco:

$\alpha\left(u\right)=\left(R+r\cos u, 0, r\sin u\right)$

Obróćmy ten okrąg wokół okręgu o promieniu $R > 0$ , gdzie $R > r$ w płaszczyźnie prostopadłej o kąt $v$ wokół osi $z$ (środek mniejszego okręgu leży na dużym okręgu). W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:

$U_{v}=\begin{bmatrix} \cos v & - \sin v & 0\\ \sin v & \cos v & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ .

Zatem

$x\left(u, v\right)=U_{v}\cdot\alpha^{T}\left(u\right)=\begin{bmatrix} \cos v & - \sin v & 0\\ \sin v & \cos v & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} R+r\cos u\\ 0\\ r\sin u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \left(R+r\cos u\right)\cos v\\ \left(R+r\cos u\right)\sin v\\ r\sin u\end{bmatrix}$ .

Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:

$x\left(u, v\right)=\left( \left(R+r\cos u\right)\cos v, \left(R+r\cos u\right)\sin v, r\sin u\right)$ .

[edytuj] Krzywizna Gaussa torusa

Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym $x\left(u, v\right)=\left( g\left(u\right), h\left(u\right)\cos v, h\left(u\right)\sin v\right)$ w punkcie $P=x\left(u, v\right)$ można wyznaczyć ze wzoru

$K_{P}={g'\left(g''h'-h''g'\right)\over h\left(g'^{2}+h'^{2}\right)^{2}}$ .

Dla torusa o zadanej wcześniej parametryzacji mamy:

$h\left(u\right)=R+r\cos u$ , $g\left(u\right)=r\sin u$ .

Stąd

$h'\left(u\right)=-r\sin u$ , $g'\left(u\right)=r\cos u$ ,

$h''\left(u\right)=-r\cos u$ , $g''\left(u\right)=-r\sin u$ .

Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej dostajemy

$K_{P}={\cos u\over r\left(R+r\cos u\right)}$ .

Zauważmy, że dla:

${-{\pi\over 2}<u<{\pi\over 2}}$ mamy $cos u > 0$ , czyli $K P > 0$ na zewnętrznej stronie torusa,

$u=-{\pi\over 2}, u={\pi\over 2}$ mamy $cos u = 0$ , czyli $K P = 0$ na górze i dole torusa,

${\pi\over 2}<u<{3\pi\over 2}$ mamy $cos u < 0$ , czyli $K P < 0$ po wewnętrznej stronie torusa,

$u = 0$ wówczas $K P$ przyjmuje maksimum tj. $K\left(0 \right)={1\over r\left(R+r\right)}$ na największym okręgu (równoleżniku),

$u = π$ wówczas $K P$ przyjmuje minimum tj. $K\left(\pi \right)={1\over r\left(R-r\right)}$ na najmniejszym okręgu (równoleżniku).

Kategorie: Powierzchnie • Topologia

W pracy wyzywali mnie od najgorszych

Koledzy obmacywali mnie w pracy i zmuszali do oglądania pornograficznych zdjęć - opowiada pracownica kieleckiej firmy. Teraz sprawą zajmuje się prokuratura

Nauczyciel z awansem, ale bez chęci

W szkole, która zatrudnia najlepiej opłacanych nauczycieli dyplomowanych, uczniowie mają gorsze wyniki niż tam, gdzie pracują nauczyciele gorzej wykwalifikowani - alarmuje NIK.

Dzieci samotne w sieci

Niewielu dorosłych boi się pedofilów czyhających na dzieci w internecie - wynika z badań CBOS i portalu Gazeta.pl.

Polski ślad więzień CIA

W Polsce istniał tajny ośrodek CIA - tej treści notatkę wywiadu poznało w 2006 r. trzech urzędników rządu PiS: Ziobro, Kaczmarek i Wassermann. Czy ośrodek służył Amerykanom jako więzienie dla terrorystów z al Kaidy? Sprawdza to prokuratura

PiS pożegna się z kilkoma uczestnikami szkolenia w Sierakowie

Sekretarz generalny PiS Jarosław Zieliński powiedział, że jego ugrupowanie zrezygnuje ze współpracy z osobami, które przewodziły w "niegodnych zachowaniach" na szkoleniu młodzieżówki partii w Sierakowie pod Poznaniem. Według niego, będzie to kilka osób.

Rząd o tekście dziennik.pl: to głupi dowcip gazety, która chce być cytowana

Zdaniem ministra w kancelarii premiera Rafała Grupińskiego, nie ma groźby zerwania koalicji PO-PSL. Również szef gabinetu politycznego premiera Sławomir Nowak zaprzeczył, by PO postawiła jakiekolwiek ultimatum PSL. Portal dziennik.pl poinformował w czwartek wieczorem, że "nieoficjalnie dowiedział się, iż" Platforma grozi PSL zerwaniem koalicji. Według portalu, PO stawia ludowcom ultimatum: albo poprą pakiet ustaw, albo nastąpi koniec koalicji. O tym, miał - według dziennika.pl - zdecydować czwartkowy zarząd.

Prezydent: Szczególna sytuacja Polski w UE jest nie do pozazdroszczenia

Prezydent Lech Kaczyński w czasie spotkania z ambasadorami mówiąc o stosunkach panujących w Unii Europejskiej, stwierdził, że istnieje właściwie dyrektoriat dwóch państw - Berlina i Paryża, a " szczególna sytuacja Polski w Unii jest w jakimś sensie nie do po zazdroszczenia". Prezydent podkreślił, że naszemu krajowi zależy na dobrych stosunkach z Rosją, ale Polska nie może być niczyją strefą wpływów. Prezydent przyznał też, że jest zaniepokojony relacjami między Polską a Niemcami.

Jak policjanci studentów legitymowali

- Rozbieraj się, do naga! - usłyszał we wtorek wieczorem student politechniki od policjanta. 21-latek miał się rozebrać w otwartym radiowozie, bo mundurowy i jego koledzy stwierdzili, że chłopak „wyglądał podejrzanie”

Jasiński: PO się odgrywa, najpierw Ziobro, teraz ja

B. minister skarbu w rządzie PiS Wojciech Jasiński uważa, że wniosek PO o postawienie go przed Trybunałem Stanu ma charakter czysto polityczny i jest kolejnym etapem "rozgrywki PO przeciwko opozycji parlamentarnej".

Policja chce zatrzymać kiboli w aresztach

Są wnioski do sądów o areszt dla 8 kibiców, zatrzymanych po wtorkowych burdach przed meczem Legii i Polonii Warszawa. Stołeczne prokuratury wykonywały w czwartek czynności wobec 689 zatrzymanych. Większości zarzucono czynny udział w zbiegowisku o charakterze chuligańskim. Jak podała Komenda Stołeczna Policji, 676 z zatrzymanych postawiono zarzuty. Wobec 454 osób zastosowano tzw. zakaz stadionowy, a 368 kibiców otrzymało dozór policyjny. 235 zatrzymanych dobrowolnie poddało się karze. Wobec 12 innych decyzje jeszcze nie zapadły.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Torus (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Wzory

[edytuj] Uogólnienie

[edytuj] Parametryzacja torusa

[edytuj] Krzywizna Gaussa torusa

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach