Torus (matematyka)

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Skocz do: nawigacji, szukaj

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Torus

Zobacz galerię na Wikimedia Commons:
Torus (matematyka)

Torus (łac. armila) - dwuwymiarowy torus (oznaczany często $T 2$ ) to dwuwymiarowa powierzchnia geometryczna leżąca w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół osi (dookoła prostej) leżącej w tej samej płaszczyźnie co ten okrąg, i nie przecinającej go (czyli nie mającej z nim wspólnych punktów).

Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.

[edytuj] Wzory

Jeśli okrąg ten ma promień r, a odległość prostej od jego środka wynosi R, to pole powierzchni S torusa wynosi $S = 4π 2 r R$ , a objętość $V = 2π 2 R r 2$ . Równanie torusa ma postać: $\left(\sqrt{x^2 + y^2} - R\right)^2+z^2 = r^2$ .

[edytuj] Uogólnienie

Uogólnienie definicji torusa może polegać na rozważeniu płaszczyzny i utożsamieniu punktów odległych w pewnym kierunku o odległość X, zaś w innym niezależnym kierunku o Y, gdzie X i Y są ustalonymi liczbami. Utożsamienie takie przeprowadza płaszczyznę w tzw. kratę. Jest to przykład odwzorowania, które przeprowadza płaszczyznę w torus, i które łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary (utożsamienie punktów odległych w trzech różnych kierunkach o X, Y, Z odpowiednio itd. dla większej liczby wymiarów).

Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.

[edytuj] Parametryzacja torusa

Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie $x z$ o środku w punkcie $\left(R, 0, 0\right)$ , $R > 0$ i promieniu $r > 0$ . Wówczas jego parametryzacja przedstwaia się następująco:

$\alpha\left(u\right)=\left(R+r\cos u, 0, r\sin u\right)$

Obróćmy ten okrąg wokół okręgu o promieniu $R > 0$ , gdzie $R > r$ w płaszczyźnie prostopadłej o kąt $v$ wokół osi $z$ (środek mniejszego okręgu leży na dużym okręgu). W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:

$U_{v}=\begin{bmatrix} \cos v & - \sin v & 0\\ \sin v & \cos v & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ .

Zatem

$x\left(u, v\right)=U_{v}\cdot\alpha^{T}\left(u\right)=\begin{bmatrix} \cos v & - \sin v & 0\\ \sin v & \cos v & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} R+r\cos u\\ 0\\ r\sin u\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \left(R+r\cos u\right)\cos v\\ \left(R+r\cos u\right)\sin v\\ r\sin u\end{bmatrix}$ .

Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:

$x\left(u, v\right)=\left( \left(R+r\cos u\right)\cos v, \left(R+r\cos u\right)\sin v, r\sin u\right)$ .

[edytuj] Krzywizna Gaussa torusa

Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym $x\left(u, v\right)=\left( g\left(u\right), h\left(u\right)\cos v, h\left(u\right)\sin v\right)$ w punkcie $P=x\left(u, v\right)$ można wyznaczyć ze wzoru

$K_{P}={g'\left(g''h'-h''g'\right)\over h\left(g'^{2}+h'^{2}\right)^{2}}$ .

Dla torusa o zadanej wcześniej parametryzacji mamy:

$h\left(u\right)=R+r\cos u$ , $g\left(u\right)=r\sin u$ .

Stąd

$h'\left(u\right)=-r\sin u$ , $g'\left(u\right)=r\cos u$ ,

$h''\left(u\right)=-r\cos u$ , $g''\left(u\right)=-r\sin u$ .

Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej dostajemy

$K_{P}={\cos u\over r\left(R+r\cos u\right)}$ .

Zauważmy, że dla:

${-{\pi\over 2}<u<{\pi\over 2}}$ mamy $cos u > 0$ , czyli $K P > 0$ na zewnętrznej stronie torusa,

$u=-{\pi\over 2}, u={\pi\over 2}$ mamy $cos u = 0$ , czyli $K P = 0$ na górze i dole torusa,

${\pi\over 2}<u<{3\pi\over 2}$ mamy $cos u < 0$ , czyli $K P < 0$ po wewnętrznej stronie torusa,

$u = 0$ wówczas $K P$ przyjmuje maksimum tj. $K\left(0 \right)={1\over r\left(R+r\right)}$ na największym okręgu (równoleżniku),

$u = π$ wówczas $K P$ przyjmuje minimum tj. $K\left(\pi \right)={1\over r\left(R-r\right)}$ na najmniejszym okręgu (równoleżniku).

[edytuj] Zobacz też:

toroid
genus

[edytuj] Linki zewnętrzne

Torus (en) w encyklopedii MathWorld

Kategorie: Powierzchnie • Topologia

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt nie jest już wiceministrem sportu

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt został odwołany ze stanowiska wiceministra sportu.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Speckomisja spyta szefa ABW o dochody

Sejmowa Komisja ds. Służb Specjalnych poprosi szefa Agencji Bezpieczeństwa Wewnętrznego Krzysztofa Bondaryka o wyjaśnienia - dowiedział się serwis internetowy tvp.info. Urzędnik będzie musiał przed komisją wytłumaczyć się z dochodów, które uzyskuje od operatora Ery GSM. Speckomisja chce też od szefa CBA Mariusza Kamińskiego uzyskać wyjaśnienia, dlaczego Biuro zajęło się tą sprawą.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Torus (matematyka)

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Wzory

[edytuj] Uogólnienie

[edytuj] Parametryzacja torusa

[edytuj] Krzywizna Gaussa torusa

[edytuj] Zobacz też:

[edytuj] Linki zewnętrzne

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach