Transformata Laplace'a

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Jednostronną Transformatą Laplace'a funkcji $\mathbb{R} \ni t \to f(t) \in \mathbb{R}$ nazywamy następującą funkcję $\mathbb{C} \ni s \to F(s) \in \mathbb{C}$ :

$F(s)= \left\{\mathcal{L} f\right\}(s)=\int\limits_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

często zapisywaną, zwłaszcza w środowisku inżynierskim, w następującej formie:

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int\limits_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.$

Niech X oznacza przestrzeń funkcji, dla których powyższa całka (zwana całką Laplace'a) jest zbieżna.

Funkcję $X \ni f \to \mathcal{L}(f)$ nazywamy transformacją Laplace'a

Należy zwrócić uwagę na rozróżnienie pomiędzy pojęciem transformaty, a transformacji Laplace'a. Zgodnie z powyższą definicją transformacja Laplace'a jest przekształceniem zbioru funkcji, dla których całka Laplace'a jest zbieżna w zbiór funkcji zespolonych zmiennej zespolonej. Natomiast transformata Laplace'a jest jedynie obrazem pewnej funkcji f(t) przez transformację Laplace'a.

Matematykiem, który zdefiniował transformację Laplace'a i od którego nazwiska wzięła ona nazwę był Pierre Simon de Laplace.

Transformata Laplace'a posiada kilka własności, które czynią ją szczególnie użyteczną w analizie liniowych układów dynamicznych.

Spis treści

1 Warunki zbieżności całki z transformatą Laplace'a
2 Własności
3 Transformaty Laplace'a częściej spotykanych funkcji
4 Transformata odwrotna Laplace'a
5 Zobacz też

[edytuj] Warunki zbieżności całki z transformatą Laplace'a

Istnieje zawsze funkcja, która majoryzuje czyli ogranicza wykładniczo funkcję f(t): istnieje takie M oraz d, że dla każdego t > 0 zachodzi zależność: $| f (t) | < M e d t$

[edytuj] Własności

[edytuj] Liniowość

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

[edytuj] Transformata pochodnej

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}(f) - f(0^+)$ gdzie

f'(0 +)

oznacza granicę prawostronną funkcji f(t) w punkcie t =0

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}(f) - s f(0^+) - f'(0^+)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0^+) - df\cdots - f^{(n - 1)}(0^+)$

[edytuj] Pochodna transformaty

$F^{(n)}(s)=(-1)^{(n)}\mathcal{L}\{ t^{(n)} f(t)\}$

[edytuj] Transformata całki

$\mathcal{L}\left\{ \int\limits_0^t f(\tau) d\tau \right\} = {1 \over s} F(s)$

[edytuj] Całka transformaty

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int\limits_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

[edytuj] Przesunięcie w dziedzinie transformaty

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)$

[edytuj] Transformata funkcji z przesunięciem

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) 1(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) 1(t - a)$

gdzie 1(t) oznacza skok jednostkowy---------.

[edytuj] Splot

$\mathcal{L}\left\{\int\limits_0^\infty f(u)\cdot g(t-u)\,du\right\} = \mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

Jest to tzw. Twierdzenie Borela o splocie.

[edytuj] Transformata funkcji okresowej o okresie p

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int\limits_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

[edytuj] Własności graniczne

$\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$

$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)$

[edytuj] Transformaty Laplace'a częściej spotykanych funkcji

$\mathcal{L}\left\{\delta(t)\right\} = 1$

$\mathcal{L}\left\{\delta(t-a)\right\} = e^{-as}$

$\mathcal{L}\left\{a\right\} = a\frac{1}{s}$

$\mathcal{L}\left\{at\right\} = a\frac{1}{s^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{at^n\right\} = a\frac{n!}{s^{n+1}} \qquad dla \quad n = 0,1,2,3,....$

$\mathcal{L}\left\{e^{at}\right\} = \frac{1}{s-a}$

$\mathcal{L}\left\{\sin(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}+a^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\cos(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\sinh(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}-a^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\cosh(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}-a^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{t^ne^{at}\right\} = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$

$\mathcal{L}\left\{e^{at}\sin(bt)\right\} = \frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\frac{t}{2b}\sin(bt)\right\} = \frac{s}{(s^{2}+b^{2})^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{e^{at}\cos(bt)\right\} = \frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}$

$\mathcal{L}\left\{\ln(at)\right\} = -\frac{\gamma + \ln(s) - \ln(a)}{s}$

gdzie $γ$ – stała Eulera

[edytuj] Transformata odwrotna Laplace'a

Zobacz więcej w osobnym artykule: odwrotna transformata Laplace'a.

Transformatą odwrotną funkcji $\mathbb{C} \ni s \to F(s) \in \mathbb{C}$ nazywamy taką funkcję $\mathbb{R} \ni t \to f(t) \in \mathbb{R}$ , której transformatą jest F(s):

$\mathcal{L}^{-1}\left\{F(s)\right\} = f(t)$ jeżeli $F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}$

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Równania różniczkowe

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt nie jest już wiceministrem sportu

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt został odwołany ze stanowiska wiceministra sportu.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.