Pozytywne informacje z Polski i ze Świata.

Tutaj znajdziesz je wszystkie!

Twierdzenie Berry-Essena

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Twierdzenie Berry-Essena pozwala na szacowanie szybkości zbieżności w centralnym twierdzeniu granicznym.

Spis treści

[edytuj] Motywacja

Zauważmy, że centralne twierdzenie graniczne (dla przypadku jednakowych zmiennych losowych) w istocie mówi, że \mathbb P(\frac{X_1+X_2+\ldots+X_n)}{\sigma\sqrt n}\leq t)\longrightarrow\phi(t) przy n\to\infty. Naturalnym jest pytanie o odległość tych dwóch funkcji w normie supremum i badanie jak maleje ona z n-em. Odpowiedzi dostarcza nierówność Berry-Essena i to w formie nieco ogólniejszej. Jedynym dodatkowym wymaganiem jest skończoność trzeciego momentu modułu zmiennej.

[edytuj] Twierdzenie

Niech X_1,X_2,\ldots X_n będą niezależnymi zmiennymi losowymi, \mathbb EX_i=0, \sum_{i=1}^n Var(X_i)=1 oraz \forall_i \mathbb E|X_i|^3<\infty. Wówczas istnieje stała L\in\mathbb R taka, że \sup_t|\mathbb P(\sum_{i=1}^n X_i\leq t)-\phi(t)|\leq L\sum_{i=1}^n \mathbb E|X_i|^3.

[edytuj] Wniosek

Można jako wniosek przedstawić nieco inne sformułowanie twierdzenia, dla jednakowych, niezależnych zmiennych losowych. Niech X,X_1,X_2,\ldots X_n będą jednakowymi niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, wariancji równej σ2 oraz takimi, że \mathbb E|X|^3<\infty. Wówczas

\sup_t|\mathbb P(\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{\sigma\sqrt n}\leq t)-\phi(t)|\leq L\sum_{i=1}^n \frac{\mathbb E|X_i|^3}{\sqrt n}

[edytuj] Dowód wniosku

Niech \tilde{X_i}=\frac{X_i}{\sigma\sqrt n}, wówczas \sum_{i=1}^n\mathbb E\tilde{X_i}^2=1. Wówczas zmienne \tilde{X_i} spełniają założenia twierdzenia i zastosowanie go daje tezę wniosku, gdyż \sum_{i=1}^n\mathbb E|\tilde{X_i}|^3=\frac{1}{\sigma^3 n^{\frac{3}{2}}} n\mathbb E|X|^3=\frac{\mathbb E|X|^3}{\sigma^3\sqrt n}.

[edytuj] Uwagi

Najlepsze do tej pory znane stałe to L = 0.7975 z pracy Beeka z roku 1972 oraz dla przypadku jednakowych zmiennych losowych L = 0.7665 udowodnione w 1986 roku przez Shiganova.

Oszacowanie jest asymptotycznie dobre, istnieje przykład pokazujący, że stała L z twierdzenia musi spełniać nierówność L\geq\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx 0.4.

[edytuj] Przykład

Ponieważ prawdziwość twierdzenia Berry-Essena ze stałą L implikuje prawdziwość wniosku dla jednakowych, niezależnych zmiennych losowych ze stałą L to dla wskazania kontrprzykładu dla pewnej stałej wystarczy wskazać kontrprzykład dla tej stałej dla wniosku.

Niech X,X_1,X_2,\ldots,X_n będą jednakowymi, niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że \mathbb P(X=\pm 1)=\frac{1}{2}. Wówczas \sigma^2=1\!. Niech n=2k,k\in\mathbb Z.

Wówczas \mathbb P(\frac{X_1+\ldots+X_n}{\sqrt n}\leq 0)-\phi(0)=\frac{1+\mathbb P(X_1+\ldots+X_n=0)}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\mathbb P(X_1+\ldots+X_n=0)=\frac{1}{2}2^{-2k}\binom{2k}{k}.

Ze wzoru Stirlinga wiemy, że n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n (1+O(\frac{1}{n})). Zatem 2^{-2k}\binom{2k}{k}=2^{-2k}\frac{(2k)!}{(k!)^2}=2^{-2k}\frac{\sqrt{4\pi n}}{2\pi n}\frac{(\frac{2k}{e})^{2k}}{(\frac{k}{e})^{2k}} (1+O(\frac{1}{n}))=\frac{1}{\sqrt{nk}}(1+O(\frac{1}{n})).

Dostajemy zatem \mathbb P(\frac{X_1+\ldots+X_n}{\sqrt n}\leq 0)-\phi(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}(1+O(\frac{1}{n})), czyli mamy dolne oszacowanie na L równe \frac{1}{2\pi}.

[edytuj] Linki zewnętrzne

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.
W innych językach
Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Jeśli skorzystałeś z informacji przedstawionych tutaj?

Nie bądź samolubem. Daj link do serwisu http://www.theplaceofhousesinc.com wszystkim z Twojego GG.