Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa jest jednym z podstawowych wyników w analizie matematycznej. Mówi ono, że każdy ograniczony ciąg liczb rzeczywistych zawiera podciąg zbieżny. We współczesnym języku oznacza to, że domknięte i ograniczone podzbiory prostej rzeczywistej są ciągowo zwarte.

Twierdzenie to było najpierw udowodnione przez czeskiego matematyka Bernarda Bolzano, ale jego praca pozostała niezauważona. Twierdzenie było później ponownie odkryte i udowodnione przez niemieckiego matematyka Karla Weierstrassa.

Spis treści

1 Twierdzenie
- 1.1 Sformułowanie
- 1.2 Dowód
2 Wniosek: twierdzenie Weierstrassa
3 Wnioski
4 Zobacz też

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Sformułowanie

Załóżmy, że $(c_n)_{n=0}^\infty$ jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych (a więc dla pewnych $a < b$ mamy że $a < c n < b$ dla każdego $n$ ). Wówczas można wybrać rosnący ciąg indeksów $n_0,n_1,n_2,n_3,\ldots$ tak, że ciąg $\big(c_{n_k}\big)_{k=0}^\infty$ jest zbieżny.

[edytuj] Dowód

Załóżmy, że $(c_n)_{n=0}^\infty$ jest ciągiem liczb rzeczywistych, $a < b$ oraz $a < c n < b$ dla wszystkich $n$ . Indukcyjnie wybieramy liczby $a_k,b_k\in [a,b]$ oraz liczby naturalne $n k$ , tak że dla każdego $k$ mamy

$n 0 = 0$ , $a 0 = a$ , $b 0 = b$ ,
$n k < n k + 1$ , $a_k\leq a_{k+1}\leq c_{n_{k+1}}\leq b_{k+1}\leq b_k$ ,
$b_k-a_k=(b-a)\cdot 2^{-k}$ ,
zbiór $\{n:c_n\in [a_k,b_k]\}$ jest nieskończony.

Pierwszy warunek powyżej definiuje $n 0, a 0, b 0$ . Przypuśćmy że wybraliśmy już $n k, a k, b k$ tak, że wymagania sformułowane powyżej są spełnione. Niech $d=\frac{a_k+b_k}{2}$ . Jeśli zbiór $\{n:c_n\in [a_k,d]\}$ jest nieskończony, to połóżmy $a k + 1 = a k$ , $b k + 1 = d$ i wybierzmy $n k + 1 > n k$ tak że $a_{k+1}\leq c_{n_{k+1}}\leq b_{k+1}$ . Jeśli zbiór $\{n:c_n\in [a_k,d]\}$ jest skończony, to wtedy zbiór $\{n:c_n\in [d,b_k]\}$ musi być nieskończony. W tym wypadku deklarujemy że $a k + 1 = d$ , $b k + 1 = b k$ i wybieramy $n k + 1 > n k$ tak że $a_{k+1}\leq c_{n_{k+1}}\leq b_{k+1}$ .

Po przeprowadzeniu powyższej konstrukcji zauważamy że ciąg $\big(c_{n_k}\big)_{k=0}^\infty$ jest ciągiem Cauchy'ego, a więc wobec zupełności prostej rzeczywistej jest on zbieżny.

[edytuj] Wniosek: twierdzenie Weierstrassa

Prawie bezpośrednio z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika następujące twierdzenie, nazywane często twierdzeniem Weierstrassa.

[edytuj] Sformułowanie

Jeśli $f: [a,b] \to \mathbb R$ jest funkcją ciągłą, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja $f$ osiąga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb $c,d\in [a,b]$ mamy

$\forall x \in [a,b]\quad f(d) \le f(x) \le f(c)$ .

[edytuj] Dowód

Aby udowodnić ograniczoność obrazu przeprowadźmy rozumowanie nie wprost: jeżeli obraz funkcji $f$ nie ma ograniczenia górnego, to możemy znaleźć ciąg $(c_n)_{n=0}^\infty$ taki, że $f(c_n) \ge n$ dla każdego $n$ . Tak więc wówczas

(*) $\lim\limits_{n\to\infty} f(c_n)=\infty$ .

Niech $(c_{n_k})_{k=0}^\infty$ będzie zbieżnym podciągiem ciągu $(c_n)_{n=0}^\infty$ i niech $\lim_{k\to \infty} c_{n_k} = c$ . Ponieważ odcinek domknięty $[a, b]$ zawiera wszystkie swoje punkty skupienia, to wiemy że $c\in [a,b]$ . Następnie, z ciągłości funkcji $f$ mamy $f(c) = \lim_{k\to \infty} f(c_{n_k})$ , ale ciąg $\left(f(c_{n_k})\right)_{k=0}^\infty$ jako podciąg ciągu rozbieżnego do $\infty$ (przypomnijmy (*)) nie może być zbieżny do $f (c)$ . Uzyskana sprzeczność pokazuje że nasze przypuszczenie było fałszywe, czyli $f$ posiada ograniczenie górne.

Oznaczmy kres górny obrazu $f$ przez $d$ , mamy więc $d = \sup \left\{ f(x): x \in [a,b] \right\} < \infty$ . Możemy wtedy znaleźć taki ciąg $(c_n)_{n=0}^\infty$ , że $d - {1 \over n} \le f(c_n) \le d$ dla każdego $n$ . Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wiemy, iż istnieje podciąg zbieżny $(c_{n_k})_{k=0}^\infty$ , którego granicę $\lim_{k\to \infty} c_{n_k} \in [a,b]$ oznaczymy przez $c$ . Wtedy wykorzystując ponownie własność ciągłości funkcji $f$ otrzymujemy $f(c) = \lim_{k \to \infty} f(c_{n_k}) = d$ . A więc wartość funkcji f w punkcie $c\in [a,b]$ jest kresem górnym obrazu $f$ (a więc także $f(x)\leq f(c)$ dla wszystkich $x\in [a,b]$ ).

Analogicznie dowodzimy ograniczoności obrazu funkcji z dołu i znajdujemy taką liczbę $d\in [a,b]$ , że $f(d) =\inf \left\{f(x): x\in [a,b]\right\}$ .

[edytuj] Uwaga

Założenie zwartości (domkniętości i ograniczoności) dziedziny funkcji (odcinka $[a, b]$ ) jest istotne. Na przykład funkcja $f: (0,1]\ni x \mapsto 1/x \in\mathbb{R}$ jest ciągła ale nie jest ograniczona. Podobnie $f: \mathbb{R}\ni x \mapsto e^x\in \mathbb{R}$ nie jest ograniczona, mimo że dziedzina - cała prosta - jest domknięta.

[edytuj] Wnioski

Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa wynika twierdzenie Heinego-Borela: podzbiór prostej jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on domknięty i ograniczony.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Ciągi • Twierdzenia matematyczne

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Sformułowanie

[edytuj] Dowód

[edytuj] Wniosek: twierdzenie Weierstrassa

[edytuj] Sformułowanie

[edytuj] Dowód

[edytuj] Uwaga

[edytuj] Wnioski

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach