Twierdzenie Brianchona
Z Wikipedii
Twierdzenie Brianchona (czyt. Briãszona) opisuje pewną własność sześciokąta opisanego na krzywej stożkowej. Twierdzenie to udowodnił francuski matematyk Charles Julien Brianchon. Twierdzenie jest prawdziwe w geometrii afinicznej i rzutowej. Jest ono dualne do twierdzenia Pascala, co oznacza, że twierdzenia te są równoważne.
Spis treści |
[edytuj] Treść
Dla każdego sześciokąta opisanego na dowolnej krzywej stożkowej trzy odcinki łaczące ich przeciwległe wierzchołki przecinają się w jednym punkcie.
Twierdzenie zachodzi też, gdy wierzchołki sześciokąta połączymy innymi prostymi tak, żeby każdy z nich należał do dokładnie jednej z trzech prostych.
[edytuj] Przypadki zdegenerowane
Dla pięciokąta, czworokąta lub trójkąta opisanego na stożkowej możemy przyjąć odpowiednio jeden, dwa lub trzy z jego punktów styczności z krzywą jako dodatkowe wierzchołki zdegenerowanego sześciokąta. W takim przypadku twierdzenie Brianchona również zachodzi.
[edytuj] Dowód
Ponieważ twierdzenie dotyczy geometrii rzutowej, przypadki sześciokątów opisanych na innych niż okrąg krzywych stożkowych można sprowadzić rzutowo do przypadku z okręgiem. Pozostaje udowodnić ten przypadek.
Przedłużamy boki sześciokąta jak na rys. 1.
Weźmy dowolny okrąg styczny do lDE i lAB.
Oznaczmy punkty styczności przez K,L, zaś przecięcie prostych przez S.
Niech 
będą punktami styczności boków 
sześciokąta z okręgiem wpisanym.
SK = SL oraz SK' = SL', bo są to styczne poprowadzone parami z tego samego punktu do tego samego okręgu.
Stąd KK' = LL'.
Zatem możemy skonstruować taki okrąg styczny do lCD i lFA w punktach 
że MM' = NN' = KK' = LL'.
Ponieważ DN' = DL' oraz AK' = AM', to LD = DN (czerwone na rysunku) oraz KA = AM (zielone).
Zatem lAD jest prostą potęgową dwóch okręgów.
Podobnie pokazujemy, że pozostałe przekątne sześciokąta są prostymi potęgowymi odpowiednich okręgów (rys. 2).
Okręgi ustawiamy tak, żeby niebieskie odcinki (łączące ich punkty styczności z przedłużeniami boków sześciokąta oraz punkty styczności boków sześciokąta z okregiem wpisanym) miały równe długości, oraz żeby do niebieskich odcinków nalezały wieżchołki 
, zaś nie należały wieżchołki 
. Wtedy długości odpowiednich stycznych są sumami lub różnicami odpowiednich odcinków tak, że faktycznie przekątne są prostymi potęgowymi.
Dla trzech okręgów proste potęgowe par okręgów są współpękowe, więc teza twierdzenia została udowodniona.
[edytuj] Zobacz też
| Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń |
Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu. |
| Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu |
45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu. |
| Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania |
Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie. |
| Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers |
Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia. |
| Pijany policjant spowodował kolizję |
26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji. |
| Drugie podejście PO do ustawy o mediach |
PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik". |
| PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka |
PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje. |
| Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką |
Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące. |
| Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie |
- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła. |
| Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy |
Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu. |
