Twierdzenie Cantora
Z Wikipedii
Twierdzenie Cantora to twierdzenie teorii mnogości głoszące, że każdy zbiór ma moc mniejszą niż rodzina jego wszystkich podzbiorów, czyli jego zbiór potęgowy.
[edytuj] Dowód
Niech f będzie dowolną funkcją z danego zbioru A w jego zbiór potęgowy P(A). Zdefiniujmy zbiór B jako zbiór tych elementów zbioru A, które nie należą do swoich obrazów w odwzorowaniu f:
Zbiór B, jako podzbiór zbioru A, jest oczywiście elementem zbioru potęgowego A:
Tak zdefiniowany zbiór nie jest obrazem żadnego elementu zbioru B, gdyż element taki należałby wówczas do swego obrazu – a zbiór B składa się z elementów, które nie należą do swych obrazów. Zbiór B nie jest również obrazem żadnego elementu dopełnienia 
, bowiem taki element – jako nie należący do swego obrazu – winien należeć do B.
Wobec powyższego zbiór B (element zbioru potęgowego P(A)) nie jest obrazem żadnego elementu zbioru A w odwzorowaniu f – zatem funkcja f nie jest suriekcją (funkcją "na"), a zatem nie jest też bijekcją (funkcją wzajemnie jednoznaczną).
A skoro nie istnieje bijekcja ze zbioru A na P(A), to zbiór A nie jest równoliczny ze swoim zbiorem potęgowym P(A). Wiadomo również, że nie może mieć mocy większej od zbioru potęgowego, gdyż jest równoliczny z jego podzbiorem właściwym – istnieje iniekcja z A w P(A), przypisująca każdemu elementowi x jego singleton:
Zatem moc zbioru A jest mniejsza niż jego zbioru potęgowego:
- | A | < | P(A) |
– czego należało dowieść.
Zauważmy, że powyższy dowód jest (z uwagi na postać wyrażenia 
) w istocie rozumowaniem przekątniowym.
[edytuj] Historia
Cantor podał podobny dowód w pracy Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (1890/91) (w tej samej pracy zastosował też metodę przekątniową dla dowodu nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych, którą wcześniej wykazywał innymi metodami). Dowód ów Cantor sformułował w terminach funkcji charakterystycznych zbioru, nie podzbiorów zbioru, jak się go formułuje obecnie. Wykazał w nim, że jeśli f jest funkcją w zbiorze X, której wartościami są dwuwartościowe multifunkcje na zbiorze X, to multifunkcja 
nie należy do zbioru wartości f.
Podobny dowód pojawił się w Principia mathematica Whiteheada i Russella (1903, rozdział 348), gdzie pokazuje się, że form zdaniowych jest więcej niż obiektów. Russell przypisuje ideę dowodu Cantorowi.
Ernst Zermelo cytuje twierdzenie Cantora w pracy Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I (1908).
Zobacz też: skala betów.
| Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń |
Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu. |
| Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu |
45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu. |
| Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania |
Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie. |
| Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers |
Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia. |
| Pijany policjant spowodował kolizję |
26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji. |
| Drugie podejście PO do ustawy o mediach |
PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik". |
| PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka |
PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje. |
| Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką |
Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące. |
| Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie |
- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła. |
| Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy |
Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu. |
