Pozytywne informacje z Polski i ze Świata.

Tutaj znajdziesz je wszystkie!

Twierdzenie Darboux

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Twierdzenie Darboux – twierdzenie analizy opisujące przebieg rzeczywistej funkcji ciągłej. Jego nazwa pochodzi od francuskiego matematyka Jeana Darboux.

Spis treści

[edytuj] Twierdzenie

Niech f: [a, b] \to \mathbb R będzie funkcją ciągłą oraz f(a) \ne f(b). Niech d spełnia nierówność f(a) < d < f(b). Istnieje wówczas taki punkt c \in [a, b], że f(c) = d.

[edytuj] Dowód topologiczny

Oznaczmy przez B:=\operatorname{Im} f = \{f(x): x \in [a,b]\}, czyli obraz przedziału [a,b].

Zbiory B_1 = B \cap (-\infty, d) oraz B_2 = B \cap (d, \infty) są otwartymi podprzestrzeniami przestrzeni B. Z poniższego lematu mamy, że zbiór B jako ciągły obraz przestrzeni spójnej również musi być spójny. Niemożliwe jest więc, że B = B_1 \cup B_2, dlatego też d \in B.

[edytuj] Lemat

Niech g: X \to Y jest funkcją ciągłą między przestrzeniami topologicznymi, zaś U będzie dowolnym podzbiorem spójnym przestrzeni U. Wówczas obraz g(U) jest spójny.

Równoważne sformułowanie: każda funkcja ciągła ma własność Darboux.

[edytuj] Dowód Lematu

Rozumowanie nie wprost. Jeżeli g(V) (dla pewnego V \subseteq X) jest niespójny, to istnieje funkcja ciągła h: g(V) \to \{0,1\}, która jest "na" {0,1}. Wtedy funkcja h \circ g: V \to \{0,1\} jest ciągła i "na" {0,1}, a więc V jest niespójny. Zatem obraz zbioru spójnego jest spójny.

[edytuj] Dowód analityczny

Zdefiniujmy indukcyjnie ciągi (a_n)_{n=0}^\infty, (b_n)_{n=0}^\infty, (c_n)_{n=0}^\infty, spełniające następujące warunki:

  • a0 = a,b0 = b,
  • c_n = {a_n + b_n \over 2} dla każdego n,
  • f(a_n) \le d \le f(b_n),
  • a_n\le a_{n+1} < b_{n+1} \le b_n,
  • b_{n+1} - a_{n+1} = \frac12 (b_n - a_n).

Gdy mamy już an i bn, definiujemy c_n := \frac12(a_n+b_n).

Jeśli f(c_n) \le d, to definiujemy an + 1 = an, bn + 1 = cn
w przeciwnym przypadku an + 1 = cn, bn + 1 = bn.

Teraz łatwo udowadnia się, że f\left(\lim_{n \to \infty} a_n\right) \le d \le f\left(\lim_{n \to \infty} b_n\right) i \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n, więc f\left(\lim_{n \to \infty} a_n\right) =d.

[edytuj] Uwaga

Ten dowód nie jest konstruktywny w sensie intuicjonizmu, gdyż intuizjonizm nie pozwala na decyzję, czy dana liczba x jest mniejsza, równa lub większa od zera.

[edytuj] Twierdzenie Cauchy'ego

Twierdzenie Cauchy'ego jest przydatnym wnioskiem wynikającym z wprost z twierdzenia Darboux. Otrzmało ono swoją nazwę od nazwiska matematyka francuskiego, Cauchy'ego.

[edytuj] Sformułowanie

Jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale [a,b] i f(a) \cdot f(b) < 0, to istnieje taki punkt c \in (a, b), że f(c) = 0.

Innymi słowy, z ciągłości funkcji w ustalonym przedziale wynika, że funkcja zmieniając znak (przechodząc z wartości ujemnych na dodatnie lub odwrotnie) musi przejść przez punkt, w którym jej wartość wynosi zero.

[edytuj] Zobacz też

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.
Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Jeśli skorzystałeś z informacji przedstawionych tutaj?

Nie bądź samolubem. Daj link do serwisu http://www.theplaceofhousesinc.com wszystkim z Twojego GG.