Twierdzenie Frobeniusa

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Spis treści 1 O algebrach z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych 1.1 Twierdzenie uogólnione 2 O klasyfikacji macierzy nad pierścieniem wielomianów 3 O strukturze skończenie generowanych grup abelowych (Frobeniusa-Stickelbergera) 4 O centralizatorze macierzy 5 Twierdzenie Frobeniusa-Königa 6 Bibliografia

[edytuj] O algebrach z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych

Udowodnione w 1878 przez G. Frobeniusa twierdzenie o algebrach z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych:

Każda łączna algebra z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych jest izomorficzna albo z ciałem liczb rzeczywistych, albo z ciałem liczb zespolonych, albo z algebrą kwaternionów.

Twierdzenie zachodzi dla każdego ciała euklidesowego (zob. 1, VIII §11.2).

Algebra nad ciałem to przestrzeń wektorowa z dodatkowym działaniem mnożenia wektorów, które ma być rozdzielne względem dodawania i spełniać warunek (au)v = u(av) = a(uv) dla skalara a i wektorów u,v. Algebrę nazywamy łączną, gdy mnożenie jest łączne, tzn. u(vw) = (uv)w dla dowolnych trzech wektorów u,v,w.

Algebrą alternatywną nazywamy algebrę nad ciałem spełniającą osłabione warunki łączności:

• (uv)v = u(vv), (uu)v = u(uv)

[edytuj] Twierdzenie uogólnione

Każda alternatywna algebra z dzieleniem nad ciałem jest izomorficzna albo z ciałem liczb rzeczywistych, albo z ciałem liczb zespolonych, albo z algebrą kwaternionów, albo z algebrą oktaw Cayleya.

W każdym z tych twierdzeń rozróżnienie algebr jest łatwe: ciało liczb rzeczywistych ma wymiar 1, ciało liczb zepolonych ma wymiar 2, algebra kwaternionów ma wymiar cztery, a algebra oktaw Cayleya ma wymiar 8 - wszyskie wymiary nad ciałem liczb rzeczywistych.

[edytuj] O klasyfikacji macierzy nad pierścieniem wielomianów

Jeśli K jest ciałem, a K[X] jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej nad nim, to każda macierz nad pierścieniem K[X] jest równoważna z dokładnie jedną macierzą kanoniczną Frobeniusa, to znaczy taką, która ma jedyne niezerowe elementy d_i na miejscach (i,i), przy czym niezerowe wielomiany d_i są unormowane i wszystkie wielomiany d_i spełniają warunek d_i | d_{i + 1}.

Twierdzenie (z wyjątkiem jednoznaczności) zachodzi dla macierzy nad dowolnym pierścieniem ideałów głównych, nad pierścieniem euklidesowym jest szybki algorytm znajdowania postaci kanonicznej Frobeniusa. Dla macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych odpowiednia postać kanoniczna (z nieujemnymi elementami "diagonalnymi" d_i dla jednoznaczności) nazywana jest postacią kanoniczną Smitha.

Elementy "diagonalne" d_i nazywane są czynnikami niezmienniczymi macierzy. Dwie macierze tych samych rozmiarów nad pierścieniem ideałów głównych są równoważne, gdy ich czynniki niezmiennicze są stowarzyszone.

Jeśli D_i jest największym wspólnym dzielnikiem minorów stopnia i macierzy, to czynniki niezmiennicze tej macierzy wyrażają się wzorami:

d₁ = D₁, d_{i + 1} = D_{i + 1} / D_i.

[edytuj] O strukturze skończenie generowanych grup abelowych (Frobeniusa-Stickelbergera)

Udowodnione w 1878 roku przez G. Frobeniusa i L. Stickelbergera:

Skończenie generowana grupa abelowa jest sumą prostą grup cyklicznych; ma jednoznacznie określony rozkład na sumę prostą

gdzie d_i są liczbami całkowitymi nieujemnymi, d₁ > 1, oraz dla każdego i zachodzi d_i | d_{i + 1} (tym samym jeśli w ciągu d_i występują zera, to są na końcu). Wyrazy ciągu d_i nazywamy czynnikami niezmienniczymi grupy; dwie skończenie generowane grupy abelowe są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe ciągi czynników niezmienniczych. Liczba zer w ciągu czynników niezmienniczych jest rangą grupy abelowej.

To twierdzenie jest bezpośrednim wnioskiem z twierdzenia Frobeniusa o równoważności macierzy nad pierścieniem liczb całkowitych i zachodzi dla skończenie generowanych modułów nad pierścieniem ideałów głównych. (zob. 2. poz. bibliografii, twierdzenie III.15.2)

[edytuj] O centralizatorze macierzy

Jeśli A jest macierzą kwadratową stopnia n nad ciałem F, d_i są czynnikami niezmienniczymi macierzy charakterystycznej A − XI nad pierścieniem wielomianów F[X], a D_i są najwiekszymi wspólnymi dzielnikami minorów stopnia i macierzy charakterystycznej A − XI dla , to zbiór Z(A) wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n nad ciałem F przemiennych z A jest podprzestrzenią przestrzeni macierzy o wymiarze

,

gdzie deg oznacza stopień wielomianu.

[edytuj] Twierdzenie Frobeniusa-Königa

Jeśli A jest zerojedynkową macierzą kwadratową stopnia n, to jej permanent jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera ona podmacierz zerową o r wierszach i s kolumnach z r + s > n

[edytuj] Bibliografia

1. N. Bourbaki, Algébre, livre II,
2. L. Fuchs, Infinite abelian groups, Academic Press 1970

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.