Twierdzenie Fubiniego

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Twierdzenie Fubiniego - jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary w pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:

Przypuśćmy, że $f:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R}$ jest funkcją ciągłą. Wówczas

$\int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} f(x,y)\,d(x,y)$ .

(Powyżej, ${\mathbb R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych, a wszystkie znaki całki odnoszą sie do odpowiednich całek Riemanna.)

Spis treści

1 Postać ogólna twierdzenia
2 Przykłady
- 2.1 Zastosowanie
- 2.2 Funkcja niecałkowalna
3 Bibliografia
4 Zobacz też

[edytuj] Postać ogólna twierdzenia

[edytuj] Miary produktowe

Przypuśćmy, że $(X,{\mathcal F})$ i $(Y,{\mathcal G})$ są przestrzeniami mierzalnymi.

Produkt przestrzeni mierzalnych $(X,{\mathcal F})$ i $(Y,{\mathcal G})$ to $(X\times Y,{\mathcal F}\times{\mathcal G})$ , gdzie $X\times Y$ jest iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y, a ${\mathcal F}\times{\mathcal G}$ jest σ-ciałem podzbiorów $X\times Y$ generowanym przez rodzinę $\{A\times B:A\in {\mathcal F}\ \wedge\ B\in {\mathcal G}\}$ .

(Tak więc produkt przestrzeni mierzalnych jest przestrzenią mierzalną.)

Jeśli $(X,{\mathcal F},\mu)$ i $(Y,{\mathcal G},\nu)$ są przestrzeniami mierzalnymi z miarami (skończonymi) to istnieje jedyna miara λ określona na σ-ciele ${\mathcal F}\times{\mathcal G}$ i taka, że dla każdych zbiorów $A\in {\mathcal F}$ i $B\in {\mathcal G}$ mamy

$\lambda(A\times B)=\mu(A)\times \nu(B)$ .

Miarę λ nazywamy miarą produktową i czasami używamy oznaczenia $\lambda=\mu\times \nu$ .

Dla funkcji $h:X\times Y\longrightarrow {\mathbb R}$ i punktu $x\in X$ określamy cięcie $h x$ funkcji $h$ w punkcie $x$ jako odwzorowanie $h_x:Y\longrightarrow {\mathbb R}:y\mapsto h(x,y)$ . Analogicznie określamy też cięcie $h y$ funkcji $h$ w punkcie $y\in Y$ .

[edytuj] Twierdzenia

Niech $(X,{\mathcal F},\mu)$ i $(Y,{\mathcal G},\nu)$ będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami (skończonymi) i niech $\lambda=\mu\times \nu$ będzie miarą produktową.

Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja $h:X\times Y\longrightarrow {\mathbb R}$ jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:

(a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),

(b) jeśli dla $x\in X$ położymy $f(x)=\int\limits_Y h(x,y) d\nu$ a dla $y\in Y$ określimy $g(y)=\int\limits_X h(x,y) d\mu$ , to otrzymane funkcje $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ i $g:Y\longrightarrow {\mathbb R}$ są całkowalne (względem μ,ν, odpowiednio) oraz

$\int\limits_{X\times Y} h\ d\lambda=\int\limits_X f\ d\mu=\int\limits_Y g\ d\nu$ .

Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)

Przypuśćmy, że $E\subseteq X\times Y$ jest zbiorem mierzalnym (tzn $E\in {\mathcal F}\times {\mathcal G}$ ). Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i)

λ(E) = 0

(ii) $\mu\left(\left\{x\in X:\nu(\{y\in Y:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0$ ,

(iii) $\nu\left(\left\{y\in Y:\mu(\{x\in X:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0$ .

[edytuj] Uwagi

Powyższe fakty i definicje nie ulegają zmianom jeśli pozwolimy aby nasze miary przyjmowały również wartość $\infty$ , ale wtedy powinniśmy założyć, że $μ,ν$ są σ-skończone (tzn istnieją zbiory $F_1,F_2,F_3,\ldots \in {\mathcal F}$ takie że $\bigcup\limits_{n=1}^\infty F_n=X$ oraz $\mu(F_n)<\infty$ dla każdego n i podobnie dla ν).
Czytelnika zainteresowanego głębszym zrozumieniem tej tematyki odsyłamy do klasycznej już książki Paula Halmosa^[1]

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Zastosowanie

Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że

$\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy

$I(a)=\int\limits_{-a}^a e^{-x^2}$ .

Wówczas

$\lim_{a\to\infty} I(a) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$ .

Zauważmy, że

$I(a)^2=\left ( \int\limits_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )\cdot \left ( \int\limits_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )=\left ( \int\limits_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )\cdot \left ( \int\limits_{-a}^a e^{-y^2} dy \right )=\int\limits_{-a}^a \int\limits_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$ .

Stosując twierdzenia Fubiniego do funkcji $f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)}$ znajdujemy, że $\int\limits_{-a}^a \int\limits_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$ równa się całce podwójnej po kwadracie K o wierzchołkach w {(-a, a), (a, a), (a, -a), (-a, -a)} w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie z funkcji f (względem miary Lebesgue'a na płaszczyźnie). Ponieważ wszystkie wartości tej funkcji są dodatnie, to całka po kole wpisanym w kwadrat K będzie mniejsza niż $I (a) 2$ , a całka po kole opisanym na kwadracie K będzie większa niż ta wartość. Powtórnie używając twierdzenia Fubiniego, wspomniane dwie całki po kołach możemy wyrazić w układzie biegunowym i wtedy otrzymujemy

$\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta < I(a)^2 < \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta$

Stąd już prosto mamy, iż

$\pi (1-e^{-a^2}) < I(a)^2 < \pi (1 - e^{-2a^2})$ .

Używając twierdzenia o trzech ciągach możemy wywnioskować, że

$\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

Powyższa całka (nazywana też całką Gaussa) jest jedną z całek często wykorzystywanych w fizyce i statystyce. Często podaje ją się w następującej formie

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x-b)^2/c^2}dx=ac\sqrt{\pi}$ .

Tę ostatnią formułę otrzymujemy przez przeniesienie a przed znak całki, podstawienie $u = x - b$ a potem podstawienie $w = u / c$ jak następuje:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x-b)^2/c^2}dx=a\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-b)^2/c^2}dx=a\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-u^2/c^2}du=ac\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-w^2}dw=ac\sqrt{\pi}$ .

[edytuj] Funkcja niecałkowalna

Rozważmy całki

$A=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx$ oraz $B=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy.$

Ze względu na symetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać że $A = - B$ . Pokażemy, że $A\neq 0$ , a więc także $A\neq B$ .

Do obliczenia całki

$\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy$

użyjemy podstawienia trygonometrycznego $y=x\operatorname{tg}(\theta)$ . Tak więc

$dy=x\sec^2(\theta)\,d\theta$ oraz $x^2+y^2=x^2+x^2\operatorname{tg}^2(\theta)=x^2(1+\operatorname{tg}^2(\theta))=x^2\sec^2(\theta).$

Granice całkowania $0\leq y\leq 1$ dają nam $0\leq x\operatorname{tg}(\theta)\leq 1$ czyli $0\leq\operatorname{tg}(\theta)\leq 1/x$ , a stąd $0\leq\theta\leq\arctan(1/x).$ Zatem

$\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy=$

$\int\limits_0^{\arctan(1/x)} \frac{x^2(1-\operatorname{tg}^2(\theta))}{(x^2\sec^2(\theta))^2} x\sec^2(\theta)\,d\theta =\frac{1}{x}\int\limits_0^{\arctan(1/x)} \frac{1-\operatorname{tg}^2(\theta)}{\sec^2(\theta)}\,d\theta$

$=\frac{1}{x}\int\limits_0^{\arctan(1/x)} \cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\,d\theta =\frac{1}{x}\int\limits_0^{\arctan(1/x)} \cos(2\theta)\,d\theta =\frac{1}{x}\left[\frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_{\theta:=0}^{\theta=\arctan(1/x)}$

$=\frac{1}{x}\left[\sin(\theta)\cos(\theta) \right]_{\theta:=0}^{\theta=\arctan(1/x)} =\frac{1}{x}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x)).$

Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:

$\sin(\arctan(1/x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ oraz $\cos(\arctan(1/x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$

Zatem

$\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy=\frac{1}{x}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x))=\frac{1}{1+x^2}.$

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):

$A=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx=\int\limits_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx =\left[\arctan(x)\right]_0^1=\arctan(1)-\arctan(0)=\frac{\pi}{4}.$

Tak więc

$A=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx=\frac{\pi}{4}$ oraz $B=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy=-\frac{\pi}{4}.$

Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji $f:[0,1]\times[0,1]\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow {\mathbb R}:(x,y)\mapsto \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ . Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue'a). I rzeczywiście,

$\int\limits_{[0,1]\times [0,1]}\left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right|\,d (x,y)=\infty.$

[edytuj] Bibliografia

↑ Halmos, Paul R.: Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc., New York, N. Y., 1950.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Analiza matematyczna • Teoria miary

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Twierdzenie Fubiniego

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Postać ogólna twierdzenia

[edytuj] Miary produktowe

[edytuj] Twierdzenia

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Zastosowanie

[edytuj] Funkcja niecałkowalna

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach