Twierdzenie Gödla

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Należy w nim poprawić: niewłaściwe sformułowanie twierdzeń, definicji. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się na stronie dyskusji tego artykułu w sekcji Dopracować Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Twierdzenie Gödla to jeden z najbardziej znanych rezultatów logiki matematycznej. W istocie znane są dwa różne twierdzenia Gödla: pierwsze z nich to twierdzenie o niezupełności, drugie zaś to jego bezpośredni (równoważny) wniosek nazywany też twierdzeniem o niedowodliwości niesprzeczności. Oba twierdzenia zostały udowodnione w 1931 roku przez austriackiego matematyka i logika Kurta Gödla. Uważa się również, że twierdzenia te dają negatywną odpowiedź na drugi problem Hilberta, i w ten sposób mają spore znaczenie w filozofii matematyki. Inne bardzo ważne twierdzenia Gödla to: twierdzenie o istnieniu modelu i twierdzenie o nierozstrzygalności (patrz: teoria, struktura matematyczna).

Spis treści 1 Kontekst 2 Twierdzenia 2.1 Pierwsze, o niezupełności 2.2 Drugie, o niedowodliwości niesprzeczności 3 Zarys dowodu 4 Wnioski 4.1 Błędne interpretacje 5 Przypisy

[edytuj] Kontekst

Twierdzenie Gödla było odpowiedzią na próbę przedstawienia wszystkich aksjomatów i twierdzeń matematycznych w postaci czysto symbolicznej (syntaktycznej), tzn. bez odwoływania się do ich znaczenia (czyli w oderwaniu od semantyki; por. logicyzm, formalizm). Próby takiej podjął się m.in. David Hilbert.

System formalny niesprzeczny – system, w którym nie da się udowodnić jednocześnie pewnego zdania i jego zaprzeczenia.

System formalny zupełny – system, w którym możliwe jest przeprowadzenie dowodu dowolnego, prawidłowo zapisanego zdania tego systemu, lub jego zaprzeczenia.

[edytuj] Twierdzenia

Dalej termin: prawdziwość używany będzie w znaczeniu: możliwość przeprowadzenia dowodu, a nie w sensie Tarskiego: spełnienia przez model. (Dotyczy bowiem zdań w systemach formalnych, które w ogólności modeli nie posiadają.)

[edytuj] Pierwsze, o niezupełności

Twierdzenie to mówi, że dowolny system formalny zawierający w sobie aksjomaty arytmetyki liczb naturalnych, jest albo zupełny albo niesprzeczny i nigdy nie posiada obu tych cech jednocześnie. Innymi słowy: można dowodzić prawdziwości wszystkich zdań takiego systemu, jednak wówczas istnieje w systemie pewne prawdziwe zdanie P, którego zaprzeczenie ~P również jest prawdziwe. Tym samym system albo jest sprzeczny wewnętrznie, albo system nie musi być sprzeczny, lecz wówczas istnieją zdania, których prawdziwości nie da się wywieść z aksjomatów i twierdzeń rozważanego systemu formalnego.

[edytuj] Drugie, o niedowodliwości niesprzeczności

To twierdzenie jest konsekwencją poprzedniego. Głosi ono, iż nie da się dowieść, w ramach tego systemu, niesprzeczności żadnego systemu formalnego zawierającego arytmetykę liczb naturalnych. Aby taki dowód przeprowadzić, niezbędny jest system wyższego rzędu, którego niesprzeczności w ramach niego samego również nie da się dowieść – i tak ad infinitum.

[edytuj] Zarys dowodu

Jeżeli zebrać wszystkie dowody w systemie w ciąg (Π_i) i wszystkie formuły zdaniowe jednoargumentowe w ciąg (P_i), to istnieje formuła

Zdanie Gödla P_k(k) oznacza więc, że nie można go dowieść. Gdyby można było go dowieść, byłoby fałszywe, a system byłby sprzeczny, więc jest prawdziwe, choć nie można go dowieść^[1].

[edytuj] Wnioski

Obydwa twierdzenia Gödla można uogólnić na dowolne systemy formalne zawierające skończoną lub rekurencyjnie przeliczalną liczbę aksjomatów. Warunkiem jest, aby w skład takiego systemu wchodziła arytmetyka liczb naturalnych lub zawierał on skończoną liczbę aksjomatów umożliwiającą przeprowadzenie tzw. arytmetyzacji twierdzeń.

Można oznaczyć G₀=P_k(k) i dodać to zdanie do aksjomatów systemu. Wtedy również będzie istniało zdanie G₁ niezależne od poszerzonych aksjomatów. W ten sposób można dodać G₂, G₃..., a nawet G_ω, G_ω+1, G_ω+2..., G_ω2, G_ω2+1..., G_ω3, G_ω4... i G_ω².^[1]

[edytuj] Błędne interpretacje

Potoczne rozumienie twierdzeń Gödla prowadzi zwykle do nieprawidłowych wniosków, np.:

• nie wiadomo, co jest prawdą,
• każdy system rozumowania jest sprzeczny albo niezupełny.

Warto także pamiętać, że dowód pierwszego twierdzenia Gödla polega na skonstruowaniu explicite zdania prawdziwego, którego nie da się dowieść w arytmetyce liczb naturalnych. Wyraźnie więc odróżnia się tu prawdziwość zdania od możliwości samego jego dowodzenia.

W codziennym życiu zwykle nie mamy do czynienia z systemami formalnymi, a co ważniejsze: kryteria prawdy nie są oparte wyłącznie na rachunku predykatów i innych formach logicznego rachunku zdań. Ponadto, prace późniejszych matematyków i logików doprowadziły poprzez zastosowanie tzw. indukcji pozaskończonej do konstrukcji systemów formalnych zawierających arytmetykę liczb naturalnych, będących jednocześnie niesprzecznymi i zupełnymi.

Istnieją również alternatywne formy twierdzeń Gödla posługujące się pojęciami m.in. z zakresu tak zwanych zbiorów rekurencyjnych.

Przypisy

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.