Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej – twierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica monotonicznie zbieżnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych jest mierzalna. Jeśli dodatkowo funkcje w ciągu są całkowalne i zbiór wartości całek jest ograniczony, to funkcja graniczna też jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue'a.

[edytuj] Twierdzenie

Załóżmy że:

(a) $(X,\mathcal{F},\mu)$ jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b) $f_n:X\longrightarrow {\mathbb R}$ (dla $n\in {\mathbb N}$ ) jest funkcją mierzalną,

(d) dla wszystkich $x\in X$ istnieje granica $\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)$ ; niech funkcja $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ będzie zdefiniowana przez

$f(x)=\lim\limits_{n \to \infty} f_n(x)$ dla $x\in X$ .

Wówczas funkcja f jest mierzalna. Jeśli dodatkowo

(e) każda z funkcji

f n

jest całkowalna i zbiór $\left\{\int f_n\ d\mu:n\in {\mathbb N}\right\}$ jest ograniczony z góry,

to funkcja f jest całkowalna oraz $\int f\ d\mu=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$ .

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie a nie dla każdego $x$ .

[edytuj] Szkic dowodu

Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno i nie będziemy tu tego komentować. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(e). Jak wspomnieliśmy, f jest mierzalna. Ponieważ ciąg $\left(\int f_n d\mu\right)_{n\in {\mathbb N}}$ jest monotonicznie rosnący i ograniczony z góry (na mocy założeń (c) i (e)), więc jest on zbieżny. Niech $C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$ .

Przypuśćmy, że $h:X\longrightarrow {\mathbb R}$ jest całkowalną funkcją prostą taką, że $0\leq h\leq f$ . Ustalmy na jakiś czas liczbę $\alpha\in (0,1)$ . Dla liczby naturalnej $n\in {\mathbb N}$ połóżmy

$A_n=\{x\in X: \alpha\cdot h(x)\leq f_n(x)\}$ .

Oczywiście, $A_n\in {\mathcal F}$ (jako że zarówno $f n$ jak i $h$ są mierzalne) oraz $A_n\subseteq A_{n+1}$ (używamy tu założenia (c)). Ponieważ $\alpha\cdot h(x)<f(x)$ ilekroć $f (x) > 0$ , to używając założenia (d) widzimy, że $X=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n$ . Zauważmy, że

(i) $\alpha\cdot\int\limits_{A_n} h\ d\mu\leq \int\limits_{A_n} f_n\ d\mu\leq \int f_n\ d\mu$ .

Następnie, pamiętając że h jest funkcją prostą, sprawdza się że

(ii) $\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{A_n} h\ d\mu=\int\limits_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} h\ d\mu=\int h\ d\mu$ .

Przechodząc z n do granicy w (i) i używając (ii) otrzymujemy

$\alpha\cdot\int h\ d\mu\leq C$ .

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby $\alpha\in (0,1)$ , to otrzymujemy iż $\int h\ d\mu\leq C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$ .

Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej h spełniającej nierówności $0\leq h\leq f$ mamy że $\int h\ d\mu\leq C$ , a więc funkcja f jest całkowalna oraz $\int f\ d\mu\leq C$ . (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a.) Ponieważ jednocześnie $\int f_n\ d\mu\leq \int f\ d\mu$ (jako że $f_n\leq f$ ), to mamy też

$\int f\ d\mu= C=\lim\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$ .

[edytuj] Zastosowania

Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach lematu Fatou.
Jest ono również używane (przy odpowiednich założeniach o funkcjach $f_1,f_2,\ldots$ ) do całkowań nieujemnych szeregów funkcyjnych:

$\sum_n \int f_n\;d\mu=\int\;\sum_n f_n\;d\mu$

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Analiza matematyczna • Teoria miary

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Szkic dowodu

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach