Pozytywne informacje z Polski i ze Świata.

Tutaj znajdziesz je wszystkie!

Twierdzenie Menelaosa

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Twierdzenie Menelaosa (Menelausa) – twierdzenie geometrii płaskiej pochodzące od Menelaosa z Aleksandrii, choć znane było już przed nim. Jest przydatne przy wykazywaniu współliniowości punktów (tzn. że leżą one na wspólnej prostej).

Spis treści

[edytuj] Treść

Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta \triangle ABC i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty D,E,F w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli

|AE| \cdot |CD| \cdot |BF| = |BD| \cdot |AF| \cdot |CE|.

Zapamiętanie twierdzenia ułatwia również sztuczka mnemotechniczna polecająca kolejnym przechodzeniu od wierzchołka trójkąta (poczynając od dowolnie ustalonego) do punktu przecięcia poprzecznej na boku (przedłużeniu) zawierającym ten punkt do kolejnego wierzchołka i wróceniu w ten sposób do punktu wyjścia:

A \to E \to C \to D \to B \to F \to A skrótowo zapisywane zwykle jako AECDBFA,

co pomaga w zapamiętaniu, które z odcinków winny znaleźć się w liczniku, a które w mianowniku:

\frac{|AE|}{|EC|} \cdot \frac{|CD|}{|DB|} \cdot \frac{|BF|}{|FA|} = 1.

Ostatnia równość jest inną postacią twierdzenia.

[edytuj] Dowód

Niech X będzie przecięciem prostej równoległej do AC przechodzącej przez punkt B z poprzeczną. Trójkąty \triangle XBF i \triangle EAF są podobne. Z twierdzenia Talesa:

\frac{|BX|}{|AE|} = \frac{|BF|}{|FA|} czyli |XB|=\frac{|BF|}{|FA|} \cdot |AE|

Trójkąty \triangle CED i \triangle BXD są podobne. Zatem jest:

\frac{|CE|}{|XB|} = \frac{|DC|}{|DB|} czyli \frac{1}{|XB|}=\frac{|DC|}{|DB|} \cdot \frac{1}{|CE|}

Po pomnożeniu stronami otrzymanych równości prawdziwa jest równość

1=\frac{|BF|}{|FA|} \cdot \frac{|DC|}{|DB|} \cdot \frac{|AE|}{|CE|},

co kończy dowód. W przypadku, gdy wszystkie punkty D,E,F leżą na przedłużeniach boków trójkąta, rozumowanie jest analogiczne.

[edytuj] Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Menelaosa również jest prawdziwe:

Jeżeli na bokach AB i BC trójkąta \triangle ABC dane są punkty E i D, a na przedłużeniu boku AC punkt F tak, że:
|AE| \cdot |CD| \cdot |BF| = |BD| \cdot |AF| \cdot |CE|,
to punkty D,E,F są współliniowe.

Analogicznie, gdy wszystkie punkty D,E,F leżą na przedłużeniach odpowiednich boków.

[edytuj] Dowód

Dowód nie wprost: niech dla pewnych niewspółliniowych punktów zachodzi

|AE| \cdot |CD| \cdot |BF| = |BD| \cdot |AF| \cdot |CE| (1)

oraz D,E leżą na bokach trójkąta, zaś F na prostej AB poza bokiem.

Wtedy można wybrać taki punkt F' \ne F, że D,E,F' są współliniowe. Wtedy z twierdzenia Menelaosa zachodzi

|AE| \cdot |CD| \cdot |BF'| = |BD| \cdot |AF'| \cdot |CE|.

Zatem dla dwóch różnych punktów F,F' leżących na prostej AB poza odcinkiem AB zachodzi

\frac{|AF'|}{|BF'|}=\frac{|AF|}{|BF|},

co jest sprzeczne.

Dlatego jeżeli punkty D,E,F spełniają równość (1), to są współliniowe. Gdy wszystkie trzy punkty leżą poza bokami trójkąta, to dowód jest analogiczny.

[edytuj] Zobacz też

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.
Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Jeśli skorzystałeś z informacji przedstawionych tutaj?

Nie bądź samolubem. Daj link do serwisu http://www.theplaceofhousesinc.com wszystkim z Twojego GG.