Twierdzenie Ore

Z Wikipedii

Twierdzenie Ore pozwalajace stwierdzić, czy graf jest hamiltonowski. Zostało sformułowane w roku 1961 przez norweskiego matematyka Øystein Ore.

[edytuj] Treść twierdzenia

Jeżeli w grafie prostym G o n wierzchołkach, $\! n>2$ zachodzi następująca nierówność:

$\deg(v)+\deg(u) \geq n$

dla każdej pary nie połączonych bezpośrednio krawędzią wierzchołków u i v (tj. takich, że $\{v,u\} \notin E(G)$ ), to graf G jest hamiltonowski.

[edytuj] Dowód twierdzenia

Dowód nie wprost. Przypuśćmy, że twierdzenie jest fałszywe, czyli dla pewnej liczby n istnieje kontrprzykład G - graf, który spełnia założenie twierdzenia, ale nie jest Hamiltonowski. Spośród wszystkich takich grafów rozpatrzmy ten, który ma najmnieszą liczbę wierzchołków, a spośród nich taki, dla którego wartość $\! |E(G)|$ jest maksymalna. Jest to podgraf pełnego grafu hamiltonowskiego $K n$ . Dodanie do G krawędzi z grafu $K n$ daje w wyniku graf, który nadal spełnia założenia twierdzenie i który ma więcej niż $\! |E(G)|$ krawędzi, a więc ze względu na wybór grafu G tak powstały graf będzie miał cykl Hamiltona. To znaczy, że G musi mieć (przynajmniej) drogę Hamiltona, określoną przez pewien ciąg wierzchołków, $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ . Ponieważ G nie ma cyklu Hamiltona, to nie istnieje krawędź łącząca $v_1\ i\ v_n$ . Z kolei z założenia wiemy, że:

$\deg(v_1)\ +\deg(v_n)\ge n.$

Można teraz zdefiniować podzbiory zbioru $\{2,3,\cdots ,n\}$ takie, że:

$S_1\ =\ \{i:\ \{v_1,v_i\}\in E(G)\}$

$S_n\ =\{i:\{v_{i-1},v_n\}\in E(G)\},$

wtedy:

$|S_1|\ = \deg(v_1)$ i $|S_n|\ = \deg(v_n)$ .

Ponieważ:

$|S_1|+|S_n|\ge n$

i zbiór

$S_1 \cup S_n$

ma co najwyżej n-1 elementów, a więc zbiór $S_1 \cap S_n$ musi być niepusty. Istnieje więc liczba i, dla której istnieją krawędzie $\{v_1,v_i\}\ i\ \{v_{i-1},v_n\}$ . Wtedy droga:

$v_1,\cdots ,v_{i-1},v_n,\cdots ,v_i,v_1$

jest cyklem Hamilotona w grafie G, sprzeczność. QED

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Teoria grafów

W weekend odwilż i śnieg z deszczem

Najbliższa sobota i niedziela nie będą już bardzo mroźne w wyniku napływającego z zachodu ciepłego i wilgotnego powietrza polarnomorskiego. W porównaniu z rekordowo zimnym początkiem tygodnia można mówić o lekkiej odwilży, gdyż miejscami spodziewane są opady deszczu ze śniegiem. Pogodny i słoneczny dzień czeka nas w niedzielę.

"Misja specjalna" i nocna "Panorama" do zdjęcia

Likwidacja "Misji Specjalnej", nocnej "Panoramy" oraz "oszczędności we wszystkich sferach spółki" - to niektóre z decyzji podjętych przez nowy zarząd TVP.

Sondaż: Polacy podzieleni ws. terminu przyjęcia euro

60 proc. Polaków uważa, że Polska powinna przyjąć euro "dopiero wtedy, gdy zbliży się pod względem rozwoju gospodarczego do przeciętnej Unii Europejskiej"; 30 proc. badanych uważa - że w 2012 roku - wynika z sondażu TNS OBOP przeprowadzonego dla "Forum" TVP Info.

Palikot oskarża posłankę PiS o polityczną prostytucję

Janusz Palikot stwierdził w TVN24, że posłanka PiS Grażyna Gęsicka, wzywając rząd do odpowiedzialności za niewykorzystanie funduszy unijnych manipuluje opinią publiczną. Dodał, że jest mu przykro, iż "prostytucja w polityce sięga nawet pani minister Gęsickiej".

Kto zastąpi Kopacz? PO wybierze nowego szefa na Mazowszu

- Zarząd mazowieckiej Platformy Obywatelskiej wybierze w środę nowego szefa; z kierowania partią na Mazowszu - zgodnie z wytycznymi władz Platformy - zrezygnowała jeszcze w zeszłym roku kierująca resortem zdrowia Ewa Kopacz.

Wypadek w Mazurowicach: Jedna osoba ranna

Jedna osoba została ranna w wyniku wypadku, do którego doszło wieczorem niedaleko miejscowości Mazurowice (Dolnośląskie).

Listy do Sendlerowej. Maria Kaczyńska przyjęła twórców projektu

Maria Kaczyńska i minister Ewa Junczyk-Ziomecka spotkały się w Pałacu Prezydenckim z twórcami polsko-izraelskiego projektu, upamiętniającego Irenę Sendlerową. Istotą projektu są listy do Sendlerowej napisane przez 2,5 tys. dzieci izraelskich.

Cimoszewicz nie rezygnuje ze startu do PE

B. premier, b. szef MSZ a obecnie senator niezależny Włodzimierz Cimoszewicz poinformował, że nieprawdziwe są informacje prasowe, jakoby ostatecznie zrezygnował ze startu w wyborach do Parlamentu Europejskiego.

Komorowski odwołał wizytę na Litwie

Marszałek Sejmu Bronisław Komorowski odwołał wizytę w Wilnie - podała litewska agencja informacyjna BNS. Według niej Komorowski wytłumaczył się niespodziewanymi zdaniami. Rzecznik marszałka tłumaczy jednak, że Komorowski nie jedzie na Litwę, gdyż w Warszawie będzie premier Litwy.

Polski MSZ potwierdza: Jest porozumienie z porywaczami

Rzecznik MSZ Piotr Paszkowski potwierdził, że zostało osiągnięte porozumienie z porywaczami supertankowca "Sirius Star". Na pokładzie jednostki jest dwóch Polaków.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Twierdzenie Ore

Z Wikipedii

[edytuj] Treść twierdzenia

[edytuj] Dowód twierdzenia

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach