Twierdzenie Poissona

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Twierdzenie Poissona dostarcza dobrego przybliżenia uzyskania konkretnej liczby sukcesów w schemacie Bernoulliego w przypadku, gdy prawdopodobieństwo sukcesu jest małe oraz iloczyn prawdopodobieństwa sukcesu i liczby prób dąży do pewnej stałej.

[edytuj] Twierdzenie

Niech $B n$ będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych $B (n, p n)$ . Wówczas jeżeli $\lim\limits_{n\to\infty}np_n=\lambda$ , to zachodzi

$\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb P(B_n=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ ,

lub równoważnie

$B_n\stackrel{D}{\longrightarrow}X, X\sim Poiss(\lambda)$

[edytuj] Dowód

Z definicji rozkładu dwumianowego dostajemy, że $P(B_n=k)=\binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}$ . Niech $λ n = n p n$ , wtedy mamy z założenia, że $\lambda_n\longrightarrow\lambda$ . Mamy zatem

$P(B_n=k)=\binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\ldots(n-k+1)\frac{(np_n)^k}{n^k k!}(1-\frac{\lambda_n}{n})^{n} (1-\frac{\lambda_n}{n})^{-k}=$

$\frac{n-1}{n}\ldots\frac{n-k+1}{n}\cdot\frac{(np_n)^k}{k!}(1-\frac{\lambda_n}{n})^{n} (1-\frac{\lambda_n}{n})^{-k}\longrightarrow\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$

^[1]

[edytuj] Uwaga

Można przeprowadzić dowód w inny sposób, używając funkcji charakterystycznej. Wystarczy wykazać, że funkcja charakterystyczna zmiennej $B n$ dąży do funkcji charakterystycznej rozkładu Poissona o stałej $λ$ (jeśli $X ˜ P o i s s (λ)$ , to $\mathbb P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ ).

[edytuj] Komentarz

Twierdzenie Poissona podobnie jak centralne twierdzenie graniczne służy do opisywania sum niezależnych zmiennych losowych. Rożnica między tymi twierdzeniami polega na tym, że centralne twierdzenie graniczne mówi nam o sytuacjach, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest umiarkowane, a twierdzenie Poissona opisuje sytuacje, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest małe. Dobrym przykładem sytuacji, w której warto stosować twierdzenie Poissona do oszacowań, jest prawdopodobieństwo wygrania dużej kwoty na loterii.

[edytuj] Źródła

↑ J.Jakubowski, R.Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wydanie II, str. 166

Twierdzenia graniczne

Kategoria: Rachunek prawdopodobieństwa

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Twierdzenie Poissona

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Dowód

[edytuj] Uwaga

[edytuj] Komentarz

[edytuj] Źródła

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia