Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a – jedno z podstawowych twierdzeń w teorii algebr Boole'a, dziedzinie matematyki z pogranicza teorii mnogości i topologii. Stanowi ono połączenie pomiędzy algebrami Boole'a a przestrzeniami topologicznymi.

Spis treści

1 Twierdzenie
2 Uwagi o dowodzie
- 2.1 Definicje
- 2.2 Obserwacje
3 Bibliografia
4 Zobacz też

[edytuj] Twierdzenie

W 1936 amerykański matematyk Marshall Harvey Stone udowodnił^[1] że

Każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym ciałem zbiorów (traktowanym jako algebra Boole'a). Co więcej, to ciało zbiorów jest ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej zerowymiarowej zwartej przestrzeni Hausdorffa.

Dowód twierdzenia wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.

[edytuj] Uwagi o dowodzie

Niech $({\mathbb B},+,\cdot,\sim,{\bold 0},{\bold 1})$ będzie algebrą Boole'a.

[edytuj] Definicje

Powiemy, że zbiór $F\subseteq {\mathbb B}\setminus\{{\bold 0}\}$ jest filtrem na algebrze ${\mathbb B}$ gdy następujące warunki są spełnione:

(a) ${\bold 1}\in F$ ,

(b) jeśli $a\in F$ oraz $a\leq b\in {\mathbb B}$ (czyli $a\cdot (\sim b)={\bold 0}$ ), to też $b\in F$ ,

Filtr $F$ na algebrze ${\mathbb B}$ jest filtrem maksymalnym jeśli jedynym filtrem zawierającym $F$ jest filtr $F$ . (Czyli filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru.) Filtry maksymalne na algebrze ${\mathbb B}$ są też nazywane ultrafiltrami. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze ${\mathbb B}$ jest oznaczany przez ${\rm Ult}({\mathbb B})$ .
Dla $a\in {\mathbb B}$ definiujemy $e(a)=\{p\in {\rm Ult}({\mathbb B}): a\in p\}\subseteq {\rm Ult}({\mathbb B})$ .

[edytuj] Obserwacje

Niech $F\subseteq {\mathbb B}\setminus\{{\bold 0}\}$ będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i)

F

jest ultrafiltrem,

(ii) dla każdego elementu $a\in {\mathbb B}$ , albo $a\in F$ lub $\sim a\in F$ ,

(iii) dla każdych $a,b\in {\mathbb B}$ , jeśli $a+b\in F$ , to $a\in F$ lub $b\in F$ .

Każdy filtr $F\subseteq {\mathbb B}\setminus\{{\bold 0}\}$ jest zawarty w pewnym ultrafiltrze. (To stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.)
Dla dowolnych $a,b\in {\mathbb B}$ mamy, że

$e(a+b)=e(a)\cup e(b)$ , $e(a\cdot b)=e(a)\cap e(b)$ oraz $e(\sim a)= {\rm Ult}({\mathbb B})\setminus e(a)$ .

Rodzina $\{e(a): a\in {\mathbb B}\}$ jest bazą pewnej topologii $τ St$ na ${\rm Ult}({\mathbb B})$ . Przestrzeń topologiczna $( {\rm Ult}({\mathbb B}),\tau_{\rm St})$ jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T₂. (Tę przestrzeń nazywamy przestrzenią Stone'a algebry ${\mathbb B}$ .)
Odwzorowanie $e$ jest izomorfizmem pomiędzy algebrą ${\mathbb B}$ a ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone'a.

[edytuj] Bibliografia

↑ Marshall Harvey Stone. The theory of representations for Boolean algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 40 (1936), no. 1, 37-111.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Topologia • Teoria mnogości

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Uwagi o dowodzie

[edytuj] Definicje

[edytuj] Obserwacje

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach