Pozytywne informacje z Polski i ze Świata.

Tutaj znajdziesz je wszystkie!

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie jest twierdzeniem w geometrii euklidesowej na płaszczyźnie.

Spis treści

[edytuj] Teza

Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli przeciwległy bok proporcjonalnie do długości pozostałych boków.

W oznaczeniach przyjętych na rysunku treść twierdzenia wyraża proporcja:

{|AD| \over |DB|} = {|AC| \over|BC|}.


[edytuj] Dowód

[edytuj] Sposób 1.

Z punktu A prowadzimy półprostą prostopadłą do dwusiecznej CD w punkcie O, przecina ona również przedłużenie boku BC w pewnym punkcie B'. Zauważmy, że | AO | = | OB' | i | AC | = | B'C | .

Poprowadźmy przez B' prostą równoległą do boku AB – przecina ona prostą CD w pewnym punkcie D'. Trójkąty ΔADO i ΔB'D'O są przystające, a więc | D'B' | = | AD | . Z podobieństwa trójkątów ΔDBC i ΔD'B'C wynika teraz, że:

{|D'B'| \over |DB|} = {|B'C| \over |BC|},

czyli

{|AD| \over |DB|} = {|AC| \over |BC|}

[edytuj] Sposób 2.

Niech |AC| \equiv b, |BC| \equiv a, |AD| \equiv m, |BD| \equiv n, \angle ACD \equiv x, \angle ADC \equiv y.

Na mocy twierdzenia sinusów (Snelliusa) zastosowanego do trójkątów ΔADC i ΔDBC mamy:

{m \over \sin x} = {b \over \sin y}, a także
{n \over \sin x} = {a \over \sin(\pi-y)} = {a \over \sin y}.

Po podzieleniu stronami powyższych równości otrzymujemy tezę: {m \over n} = {b \over a}.

[edytuj] Sposób 3

Oczywistym jest, że stosunek pól trójkątów o równej wysokości równy jest stosunkowi długości ich podstaw. Stąd wynika, że \frac{P_{\Delta adc}}{P_{\Delta dbc}}=\frac{m}{n}. Lewą stronę można zapisać jako \frac{\frac{1}{2} b CD\sin x}{\frac{1}{2} a CD\sin x}=\frac{b}{a}. Stąd \frac{m}{n}=\frac{b}{a}, co należało wykazać.

[edytuj] Uogólnienie

Uogólnione twierdzenie o dwusiecznej mówi, że jeżeli D leży na prostej BC, i punkt A na niej nie leży, to

{\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB| \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}

[edytuj] Dowód uogólnienia

Spodki wysokości w trójkątach ABD i ACD z odpowiednio wierzchołków B i C oznaczmy odpowiednio jako B1 i C1.

Wtedy:

|BB_1|=|AB|\sin \angle BAD
|CC_1|=|AC|\sin \angle CAD

Ponadto zarówno kąt DB1B, jak i DC1C są proste, a kąty B1DB i C1DC są wierzchołkowe, jeśli D leży na odcinku BC, a tożsame w przeciwnym wypadku, więc trójkąty DB1B i DC1C są podobne, a więc:

{\frac {|BD|} {|CD|}}= {\frac {|BB_1|}{|CC_1|}}=\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}

Co kończy dowód.

[edytuj] Zobacz też

Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.
Wyjazdowe obrady klubu PO: wraca sprawa Staroń

Podczas wyjazdowego posiedzenia klubu PO w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej Lidia Staroń czyniła wyrzuty kolegom, że nie wsparli jej po publikacji "Rzeczpospolitej". Gazeta napisała, że Staroń zarobiła kilkaset tysięcy zł, bo ustawa, nad którą pracowała, pozwoliła jej uwłaszczyć lokal usługowy. Donald Tusk - relacjonuje zastrzegający anonimowość uczestnik obrad - poparł Staroń, natomiast Zbigniew Chlebowski nie zabrał głosu.

Pierwsza ofiara mrozu. Mężczyzna znaleziony na Podkarpaciu

45-letni mężczyzna jest najprawdopodobniej pierwszą tegoroczną ofiarą mrozów na Podkarpaciu. Policjanci wyjaśniają dokładne przyczyny śmierci mieszkańca Trzebuski. Mężczyznę znaleziono niespełna sto metrów od jego domu. Wiele wskazuje na to, że zmarł w wyniku wychłodzenia organizmu.

Pacelt do dymisji, dostanie nowe zadania

Ostrowiecki poseł Platformy Obywatelskiej Zbigniew Pacelt zostanie odwołany ze stanowiska wiceministra sportu. Teraz będzie odpowiadał za przygotowania reprezentacji Polski do igrzysk w Londynie.

Osiedlowy zespół ukradł sprzęt Acid Drinkers

Policjanci odzyskali sprzęt muzyczny należący do zespołu Acid Drinkers. Złodziejami okazali się 17-letni Jakub K. i 18-letni Paweł K., członkowie osiedlowego zespołu z Ełku. Za kradzież odpowiedzą przed sądem. Grozi im nawet pięć lat więzienia.

Pijany policjant spowodował kolizję

26-letni pijany policjant spowodował w sobotę w Elblągu kolizję. Funkcjonariusz, który miał w wydychanym powietrzu 2,5 promila alkoholu, straci pracę. Czeka go także sprawa karna - poinformowała Justyna Grzeczka z elbląskiej policji.

Drugie podejście PO do ustawy o mediach

PO wraca do rozmów z lewicą o zmianach w mediach. W przyszłym tygodniu politycy Platformy maja wyłożyć na stół nowy projekt ustawy medialnej - dowiedział się "Dziennik".

PiS zaniepokojone sprawą posłów Sejmu Litwy z Kartą Polaka

PiS jest zaniepokojone sprawą posłów litewskiego Sejmu posiadających Kartę Polaka. Dwóm z trzech posłów AWPL grozi utrata mandatu litewskiego posła z powodu przyjęcia przez nich Karty, co budzi na Litwie kontrowersje.

Ojciec, gdy wypił, znęcał się nad córką

Ojciec nadużywał alkoholu. Gdy był pijany, bił córkę drewnianą listewką. Dziewczynka opowiedziała o tym opiekunce ze świetlicy osiedlowej. Ta o sprawie zawiadomiła policję. 47-letniego Arkadiusza L. zatrzymano. Miał prawie promil alkoholu we krwi. Został aresztowany na trzy miesiące.

Kaczyński: Pokażemy inne przypadki pijanych posłów w Sejmie

- PiS nie będzie podejmował żadnych decyzji w sprawie Elżbiety Kruk - powiedział Jarosław Kaczyński. Posłanka w czasie wczorajszych porannych głosowań w Sejmie chwiała się na nogach i niewyraźnie mówiła.

Zawieje i zamiecie na południu, dużo śniegu na północy

Zawieje i zamiecie śnieżne mogą nękać aż do jutrzejszego popołudnia całe południe Polski. na północy, nad Bałtykiem pada i ma padać śnieg. Jak zapowiada Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej w ciągu doby może tam spaść nawet 20 centymetrów śniegu.

Zobacz także inne, godne uwagi serwisy. Piewrszy z nich prezentuje wysokiej jakości drzwi natomiast drugi z nich projekty domów parterowych.

Jeśli skorzystałeś z informacji przedstawionych tutaj?

Nie bądź samolubem. Daj link do serwisu http://www.theplaceofhousesinc.com wszystkim z Twojego GG.